Integración la UE

Question

Me pide hallar el valor de

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(x-a)\sqrt{1-x^2}}$$

donde es complejo $a$ y $a\not\in[-1, 1]$.

Creo que debe utilizar la fórmula de integración de Cauchy, pero no sé cómo aplicarlo.

Answer 1

Considere el siguiente contorno de la integral:

$$\oint_C dz \frac{1}{(z-a) \sqrt{z^2-1}}$$

donde $C$ es el siguiente contorno de $a \gt 1$:

El círculo exterior tiene radio de $R$ y los pequeños arcos circulares acerca de los puntos de ramificación en $z=\pm 1$ radio $\epsilon$. El contorno de la integral es entonces

$$\int_{-R}^{-1-\epsilon} \frac{dx}{(x-a)\sqrt{x^2-1}} + i \epsilon \int_{\pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{1}{(-1+\epsilon e^{i \phi}-a) \sqrt{(-1+\epsilon e^{i \phi})^2-1}}\\ + \int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon} \frac{dx}{(x-a) (i) \sqrt{1-x^2}}+ i \epsilon \int_{\pi}^{-\pi} d\phi \, e^{i \phi} \frac{1}{(1+\epsilon e^{i \phi}-a) \sqrt{(1+\epsilon e^{i \phi})^2-1}}\\ + \int_{1-\epsilon}^{-1+\epsilon} \frac{dx}{(x-a) (-i) \sqrt{1-x^2}} + + i \epsilon \int_{2 \pi}^{\pi} d\phi \, e^{i \phi} \frac{1}{(-1+\epsilon e^{i \phi}-a) \sqrt{(-1+\epsilon e^{i \phi})^2-1}}\\+ \int_{-1-\epsilon}^{-R} \frac{dx}{(x-a)\sqrt{x^2-1}} + i R \int_{-\pi}^{\pi} d\theta \, e^{i \theta} \frac1{(R e^{i \theta}-a) \sqrt{R^2 e^{i 2 \theta}-1}}$$

Tenga en cuenta que, como $R \to \infty$$\epsilon \to 0$, todas las integrales de desaparecer, excepto el tercer y el quinto, que se combinan para ser, como el contorno de la integral,

$$-i 2 \int_{-1}^1 \frac{dx}{(x-a) \sqrt{1-x^2}}$$

El contorno de la integral es, por el teorema de los residuos, igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole $z=a$, por lo que

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{(x-a) \sqrt{1-x^2}} = -\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}} \quad a \gt 1$$

Por supuesto, esto es válido para $a$ complejo y no sobre el eje real negativo. Usted puede demostrar que, cuando se $a$ es real y $a \lt 1$, por cualquiera de revertir el diagrama de arriba o la introducción de los semicircular desvíos en las rutas de acceso a la izquierda del punto de ramificación en $z=-1$, tenemos

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{(x-a) \sqrt{1-x^2}} = -\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}} \quad a \in \mathbb{C} \cap a \notin [-1,1]$$

Answer 2

Yo lo haría así:

En primer lugar, se multiplica y se divide por $x+a$, y utilice el hecho de que el $x$-parte en el numerador conduce a una extraña integrando y, por tanto, cero aporte. Utilizando el hecho de que el resto integrando es par, su integral es igual a $$\int_{0}^{1}\frac{2a}{(x^2-a^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx$$ En esta integral, nos vamos a $$t=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$ Esto transforma la integral en $$-\int_0^{+\infty} \frac{2a}{a^2+(a^2-1)t^2}\,dt.$$ La primitiva ahora será un arctan, y me deja el cálculo final.

Yo entiendo, como una respuesta final, $$-\frac{\pi}{a\sqrt{1-1/a^2}}.$$