Residuo de $\frac{g(z)}{\cos^{2}z}$

Question

Me gustaría ver que el residuo de la función $$\text{Res}\left(\frac{g(z)}{\cos^{2}z}\right) = g'(zn)$$ at $ z {n} = (n + \frac {1} {2}) \pi$, where$g$ es analítica.

He probado la fórmula de límite de polos de orden superiores y que no. ¿Qué otro método puedo usar?

Answer 1

Utilizando el teorema de adición para el coseno y el hecho de que $\sin(z_n) = \pm 1$, $\cos(z_n) = 0$, usted puede calcular la parte inicial de la Serie de Taylor para $\cos^2(z_n + h)$$h = 0$: $$\cos^2(z_n + h) = \sin^2(h) = \bigl( h + \frac{h^3}{3!} + O(h^5) \bigr)^2 \\ = h^2 \bigl( 1 + \frac{h^2}{6} + O(h^4) \bigr)^2 \\ = h^2 \bigl( 1 + \frac{h^2}{3} + O(h^4) \bigr) \quad \text{ para } h \to 0$$ De ello se sigue que $$\frac{1}{\cos^2(z_n + h)} = \frac{1}{h^2} \bigl( 1 - \frac{h^2}{3} + O(h^4) \bigr) \\ = \frac{1}{h^2} - \frac 13 + O(h^2)$$ Ahora que se multiplican con $$g(z_n + h) = g(z_n) + g'(z_n) h + O(h^2)$$ para obtener $$\frac{g(z_n+h)}{\cos^2(z_n + h)} = \frac{g(z_n)}{h^2} + \frac{g'(z_n)}{h} + O(1) \quad \text{ para } h \to 0$$ Por último, sustituye $z = z_n + h$: $$\frac{g(z)}{\cos^2(z)} = \frac{g(z_n)}{(z-z_0)^2} + \frac{g'(z_n)}{z-z_n} + O(1) \quad \text{ para } z \a z_n$$ y el residuo es el coeficiente de $(z-z_n)^{-1}$ en el Laurent de la serie, que es $g'(z_n)$.

Answer 2

$z_n$ es un doble cero de $h(z)=\cos^2(z)$.

El límite de la fórmula para el doble de poloses $$\mathrm{Res}(f,c) = \lim_{z \c} \frac{d}{dz}\left( (z-c)^{2}f(z) \right)$$ Por lo tanto, si $f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}$ $c$ es un doble cero de $h$,$h(z)=(z-c)^2 H(z)$,$H(c)\ne0$, y $$\mathrm{Res}(f,c) = \lim_{z \c} \frac{d}{dz}\left( (z-c)^{2}f(z) \right) = \lim_{z \c} \frac{d}{dz} \frac{g(z)}{H(z)} = \left. \left( \frac{g(z)}{H(z)} \right)'\right|_{z=c} = \frac{g'(c)H(c)-g(c)H'(c)}{H^2(c)}$$ Ahora, $H(c)=\dfrac{h''(c)}{2}$$H'(c)=\dfrac{h'''(c)}{6}$.

En su caso,

$\quad h'(z)=-2 \cos(z) \sin(z)=-\sin(2z)$

$\quad h''(z)=-2\cos(2z) \implies H(z_n)=1$

$\quad h'''(z)=4\sin(2z) \implies H'(z_n)=0$

Por lo tanto, $\mathrm{Res}(f,z_n) = g'(z_n)$.