Poset Infimum y Supremum

Question

Me pidieron mostrar que si cada subconjunto de un poset tiene un infimum entonces cada uno de esos subconjunto tiene un supremum. Hice mi prueba y ahora me doy cuenta de que lo que yo llamaba "infimum" era en realidad "un elemento más pequeño en el subconjunto determinado" (es decir, un mínimo de elemento), así que en realidad me demostró que si cada subconjunto tiene un mínimo elemento tiene un elemento maximal. Pero no veo por qué deberíamos exigir la declaración original para ser verdad.

No sé cómo dibujar cosas aquí (visto un par de preguntas con bastante diagramas, 2ª pregunta ¿Cómo hago para dibujar gráficos y cosas en este sitio?) De todos modos mi intento de un contra-ejemplo a mi problema original es de cuatro puntos en una plaza donde los dos primeros no están conectados, pero están conectados a ambos de la parte inferior de los puntos y la parte inferior de los puntos están conectados el uno al otro, pero los puntos principales no están conectados el uno al otro.

En particular, los dos puntos son un subconjunto de y, o bien de la parte inferior de los puntos son una infimum. Bueno, tal vez esto no es un contraejemplo... supongo que el truco radica en el entendimiento de que el infimum es único. ¿Por qué tiene que ser único?

Answer 1

Deje $\langle P,\le\rangle$ ser un poset, en la que cada subconjunto tiene un infimum, y deje $A\subseteq P$ ser arbitraria. Deje $U=\{p\in P:a\le p\text{ for all }a\in A\}$, el conjunto de los límites superiores de $A$, y deje $u=\inf U$. Claramente cada una de las $a\in A$ es un límite inferior para $U$, lo $a\le u$ por cada $a\in A$, y por lo tanto $u$ es realmente el mínimo elemento de $U$. En otras palabras, $u$ es la menor cota superior para $A$, que es precisamente lo que se entiende por decir que $u=\sup A$. Por lo tanto, cada subconjunto de $P$ tiene un supremum.

Tenga en cuenta que el emptyset no es tratada de manera distinta de la no-vacía de conjuntos: $u=\inf\varnothing$ si y sólo si (1) $u\le p$ todos los $p\in\varnothing$, que es vacuously cierto de todas las $u\in P$, y (2) si $v\in P$ también tiene la propiedad (1), a continuación,$v\le u$. Dado que todos los $u\in P$ tiene la propiedad (1), la propiedad (2) dice que el $u$ es el máximo elemento de $P$, usualmente denotado por $\top$ o $1_P$. Del mismo modo, si $\varnothing$ tiene un supremum, debe ser el mínimo elemento de $P$, usualmente denotado por $\bot$ o $0_P$.