Demostrar que el volumen de una esfera de radio $r$ es $V=\frac43r^3\pi$

Question

Demostrar que el volumen de una esfera de radio $r$ es $V=\frac43r^3\pi$ .

Sé demostrar esto de la siguiente manera:
Si giro la gráfica de la función $y=\sqrt{r^2-x^2}$ alrededor de $x$ -eje, resultará una esfera con radio $r$ . Por lo tanto, se puede calcular como $$V=\int_{-r}^ry^2\pi dx=\int_{-r}^r(r^2-x^2)\pi dx=\frac43r^3\pi$$ Mi pregunta es: ¿podemos demostrarlo sin girar nada? ¿Podemos simplemente integrar una fórmula para la esfera? De la fórmula obtengo $$x^2+y^2+z^2=r^2\\ z=\pm\sqrt{r^2-x^2-y^2}$$ ¿Podemos obtener un volumen como $$2\int_{-r}^r\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2-y^2}\,dx\,dy$$ He intentado integrar esto, pero parece muy complicado.

Answer 1

Los límites están mal. Deberían ser

$$2\int^r_{-r}\int^{\sqrt{r^2-x^2}}_{-\sqrt{r^2-x^2}}\sqrt{r^2-x^2-y^2}\,dy\,dx$$

Sin embargo, es más fácil utilizar coordenadas esféricas:

$$\int^R_0 \int^{2\pi}_0\int^{\pi}_0r^2\sin{\theta}\,d\theta \,d\phi \,dr$$

Answer 2

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ es la ecuación de una esfera de radio $R$ centrado en el origen. Su volumen viene dado por:

$$V = \int_{-R}^R\int_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}}\int_{-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}dzdydx$$

Esto se debe a que la proyección de la esfera sobre el $xy$ es el círculo centrado en el origen, con radio $R$ . Su ecuación es $x^2 + y^2 = R^2$ . $x$ se mueve entre $-R$ y $R$ mientras que $y$ se mueve entre $-\sqrt{R^2 - x^2}$ y $\sqrt{R^2 - x^2}$ . Esto se obtiene a partir de la ecuación del círculo, tras tomar el dominio como regular en $x$ (Podríamos tener las cosas al revés si tomamos el dominio como regular en $y$ ). Por último, $z$ se obtiene a partir de la ecuación de la esfera.

Answer 3

Reedición completa:

Lo que habías descrito la integración sobre un cuadrado en el plano.

Ya que KittyL se me adelantó con los límites correctos, permítanme señalar que, con mucho, la forma más eficiente de obtener el volumen de una esfera es hacer una integración de una variable del área de la sección transversal de la esfera cuando la cortas con un plano vertical a través del punto $(x,0,0)$ . Así que la integral se convierte en $$\int_{-r}^rA(x)dx\,,$$ donde $A(x)$ es el área mencionada, la de un círculo de radio $\sqrt{r^2-x^2}$ .

Answer 4

Esa forma funciona si se consiguen los límites correctos. Tienes $$\int_{-r}^r \Big( \cdots \Big) \, dy$$ y luego para cualquier $y$ entre $\pm r$ tienes $x$ que se ejecuta entre $\pm\sqrt{r^2-y^2}$ , por lo que es $$\int_{-r}^r \left(\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} \cdots \,dx\right) \, dy$$ y así sucesivamente.

Si luego dejas que $\sqrt{r^2-y^2}\,\sin\alpha=x$ para que $dx=\sqrt{r^2-y^2}\,\cos\alpha\,d\alpha$ , entonces se obtiene $\sqrt{r^2-y^2-x^2}$ $= \sqrt{r^2-y^2}\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ $= \sqrt{r^2-y^2}\,\cos\alpha$ etc., y la integral interna se convierte en $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}$ .

Y así sucesivamente.

Es una de las muchas maneras.

Answer 5

Arquímedes sostenía que, con respecto al volumen, una esfera es equivalente a un cono cuya base es igual a la superficie de la esfera y cuya altitud es igual al radio.