"dejar" vs "suponer" vs "si" y el contrapositivo

Question

A veces se ven teoremas de la forma "Sea $H_1, \dots, H_n$ . Si $A$ entonces $B$ ". A veces se utiliza "suponer" o "si" en lugar de "dejar". He aquí un ejemplo:

1. Dejemos que $x\in\mathbb{R}$ . Si $x\geq 0$ entonces $|x|=x$ .

2. Supongamos que $x\in\mathbb{R}$ . Si $x\geq 0$ entonces $|x|=x$ .

3. Si $x\in\mathbb{R}$ y $x\geq 0$ entonces $|x|=x$ .

Tengo la impresión de que todas estas son formas equivalentes de decir lo mismo. En este ejemplo, yo llamaría " $x\in\mathbb{R}$ " una hipótesis y " $x\geq 0$ " el antecedente. Pero en el tercer enunciado, ¿hay un contrapositivo inequívoco? En ciertos contextos, creo que se entiende que no estamos considerando realmente el caso cuando $x\notin\mathbb{R}$ . Pero " $x\in\mathbb{R}$ " es, sin embargo, parte del antecedente en la afirmación (3). Así que si estamos de acuerdo en que (1-3) son equivalentes, entonces veo dos contraposiciones:

a) Si $x\in\mathbb{R}$ y $|x|\neq x$ entonces $x<0$ .

b) Si $|x|\neq x$ entonces $x<0$ o $x\notin\mathbb{R}$ .

Creo que la teoría ingenua de conjuntos de Halmos es un ejemplo en el que se prefiere la forma (3) a la (1,2).

Las preguntas son:

1. ¿Son estas afirmaciones equivalentes?

2. En el tercer enunciado, ¿cuál es el contrapositivo? EDIT: En general, si ves un teorema de la forma "Que $H_1, \dots, H_n$ . Si $A$ entonces $B$ "¿cuál es su contrapositivo? ¿Cómo lo sabes?

3. ¿Se esfuerzan los matemáticos por separar las hipótesis ( $H_1,\dots,H_n$ ) del antecedente ( $A$ ) de la reclamación? Si es así, ¿cómo? ¿O es una de esas cosas que todo el mundo entiende y nadie explicita?

Answer 1

1. Técnicamente la tercera es diferente porque hay dos condiciones en el antecedente. Dependiendo del contexto, la tercera puede ser intercambiable con las dos primeras, más o menos por la razón que has mencionado. Yo no diría "Creo que todo el mundo sabe que no nos importa el caso cuando $x \notin \Bbb{R}$ "en general, pero si estamos en un contexto en el que realmente sólo nos importa $x \in \Bbb{R}$ entonces el tercero no es diferente de los otros.

2. El contrapositivo es este: "Si $|x| \ne x$ entonces $x \notin \Bbb{R}$ o $x < 0$ ." Lo sé porque esa es la definición de contrapositivo. Si tenemos una afirmación "Si $P$ entonces $Q$ ", entonces el contrapositivo es "Si no $Q$ entonces no $P$ ." Y en este caso, $P$ es " $x \in \Bbb{R}$ y $x \ge 0$ lo que significa (según deMorgan) que "no $P$ " es " $x \notin \Bbb{R}$ o $x < 0$ ."

3. Creo que varía de una persona a otra, pero lo que me pareció notar es que para la mayoría es algo que todo el mundo entiende y no es generalmente explícito.

Answer 2

Yo diría que las tres formas son equivalentes. Todas ellas expresan sus suposiciones seguidas de la consecuencia de esas suposiciones. La tercera se traduciría más fácilmente en una representación puramente simbólica, pero cabe señalar que las matemáticas eran un arte retórico mucho antes del simbolismo. Teniendo esto en cuenta, todas ellas exponen la misma idea, que una determinada propiedad se deriva inevitablemente de otras propiedades, y el resto es sólo estilístico.

Puedes ver algunas guías para la diferencia entre "suponer" y "dejar" aquí . Se reduce a "dejar que $x$ ser algo" significa que me estás diciendo que estás usando $x$ como abreviatura de un objeto con una determinada propiedad, mientras que "suponer" puede utilizarse para lo mismo y también para pretender que algo es cierto, como "Supongamos que este teorema es cierto, aquí están las consecuencias". No tendría mucho sentido decir "Supongamos que este teorema es verdadero", porque no se puede declarar que un teorema es verdadero del mismo modo que se puede afirmar su etiqueta arbitraria $x$ representa un objeto con una determinada propiedad.

Es todo muy sutil, no lo había pensado antes con absoluto rigor. Dudo que la mayoría de la gente lo haga. La diferencia es casi coloquial para la escritura matemática, una peculiaridad lingüística más que matemática.

En cuanto a encontrar el contrapositivo, todos los enunciados son iguales, así que podemos elegir uno arbitrariamente. Elegiré la tercera formulación para mayor claridad. Si empezamos con "Si $H$ y $A$ entonces $B$ ", el contrapositivo es claramente "Si $\neg B$ entonces $\neg H$ o $\neg A$ ", con el antecedente invertido por la ley de DeMorgan. También hay que tener en cuenta que he combinado todos los $H_i$ 's en uno $H$ ya que equivale a lo mismo.

Ahora estamos intentando demostrar una afirmación OR. Podrías demostrarlo por casos, pero hay otra manera. El enunciado "Si $P$ entonces $Q$ " es equivalente a la afirmación " $\neg P$ o $Q$ ". Así que, igualmente, si tenemos " $P$ o $Q$ ", demostramos de forma equivalente que "Si $\neg P$ entonces $Q$ ". Es como probar la afirmación OR diciendo: "Ok, primero asume $P$ es cierto. Así que la sentencia OR es verdadera y hemos terminado. Ahora supongamos que $P$ no es cierto. Tenemos que demostrar $Q$ es verdadera o bien la afirmación OR no es siempre verdadera".

Aplicándolo a nuestro ejemplo, podemos demostrar que "Si $H$ entonces $\neg A$ " en lugar de la sentencia OR en el consecuente. Así que ahora estamos diciendo: "Si $\neg B$ , entonces si $H$ entonces $\neg$ A". Eso es lo mismo que "Si $\neg B$ y $H$ entonces $\neg A$ ", sólo tienes que utilizar el truco anterior para reordenarla. Así que ahora puedes reformularlo como "Supongamos $H$ . Si $\neg B$ entonces $\neg A$ ", ya que esas fórmulas son las mismas.

Así que puedes mantenerlo en el mismo dominio, todo equivale a lo mismo. Todo depende de lo que quieras destacar.

Answer 3

En respuesta a su tercera pregunta, existe un entorno en el que los matemáticos hacen una clara distinción entre una hipótesis de la forma " $x \in \mathbb{R}$ " y una suposición de la forma " $x \ge 0$ ". Es la teoría de los tipos.

En la teoría de tipos hay tipos y elementos y un elemento siempre pertenece a un solo tipo. Esto contrasta con la teoría de conjuntos, en la que sólo hay establece y un conjunto siempre pertenece a muchos otros conjuntos. Pero en la práctica, ahora podemos pensar en un tipo como un conjunto.

En muchas versiones de la teoría de tipos, como el Cálculo de Construcciones, se permite que los tipos sean elementos de otros tipos, y existe un tipo llamado $\mathrm{Prop}$ cuyos elementos son tipos especiales llamados propuestas . De hecho, se puede ver una proposición como un tipo, cuyos elementos son sus pruebas. Por ejemplo, la conjunción $A \land B$ puede verse como el producto cartesiano de $A$ y $B$ porque una prueba de $A \land B$ consiste en una prueba de $A$ y una prueba de $B$ , es decir, un par $(a, b)$ con $a \in A$ y $b \in B$ . Este razonamiento puede aplicarse a todas las demás conectivas lógicas y cuantificadores, y recibe el nombre de Interpretación Brouwer-Heyting-Kolmogorov .

Veamos cómo las implicaciones y las cuantificaciones universales pueden pensarse como tipos. La implicación $A \Rightarrow B$ es el tipo de funciones de $A$ a $B$ porque una prueba $f$ de $A \Rightarrow B$ junto con una prueba $a$ de $A$ produce una prueba $f(a)$ de $B$ . Del mismo modo, la cuantificación $\forall a \in A. B(a)$ es un tipo de funciones, pero esta vez un elemento es una función $f$ que se asocia a cualquier $a \in A$ una prueba de $B(a)$ . En la teoría de conjuntos, éste sería el conjunto $\{ f \colon A \to \bigcup_{a \in A} B(a) \mid \forall a \in A. f(a) \in B(a) \}$ .

En este escenario, sus afirmaciones (1) y (2) corresponderían al tipo $\forall x \in \mathbb{R}. (x \ge 0 \Rightarrow \lvert x \rvert = x)$ . Observe que $x \in \mathbb{R}$ aquí no es una propuesta. De hecho, un elemento de este tipo es una función $f$ que se asocia a un número real $x$ una prueba $f(x)$ de la implicación $x \ge 0 \Rightarrow \lvert x \rvert = x$ , por lo que es una función de un set -a una familia de proposiciones. Entonces, una vez $x$ se elige una prueba de $x \ge 0 \Rightarrow \lvert x \rvert = x$ es una función $f(x)$ que se asocia a una prueba de $x \ge 0$ una prueba de $\lvert x \rvert = x$ , por lo que es una función de un propuesta a una propuesta. De este modo, se ve que la diferencia entre los dos tipos de suposiciones puede hacerse formal.

Su afirmación (3) correspondería al tipo $\forall z \in (\Sigma x \in \mathbb{R}. \pi_1(z) \ge 0). \lvert \pi_1(z) \rvert = \pi_1(z)$ donde el $\Sigma$ es una suma indexada y $\pi_1$ es la primera proyección: en la teoría de conjuntos, $\Sigma a \in A. B(a)$ corresponde a $\{ (a, b) \in A \times \bigcup_{a \in A} B(a) \mid b \in B(a) \}$ con $\pi_1((a, b)) = a$ . Ahora, un elemento de este tipo es una función desde una familia de proposiciones indexada por un tipo de conjunto a otra familia de proposiciones. Así que, de nuevo, este tipo de suposición es diferente de los vistos anteriormente.