La mejor manera de integrar $ \int_0^\infty \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} \text{d}t $

Question

Hoy he tenido examen y me he confundido con la fórmula de integración por partes. La pregunta era integrar $$ \int\nolimits_0^\infty \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} \text{d}t $$

Intentaré resolverlo de nuevo con la fórmula correcta cuando llegue a casa. Agradecería que alguien me dijera la solución para poder volver a comprobarlo y, si es posible, que me diera una pista sobre otra forma de resolverlo en lugar de la integración por partes.

Answer 1

También puedo dar una respuesta:

Nota $$ \frac{ e^{-at} - e^{-bt} }{t} = \int^b_a e^{-xt} dx $$ por lo que nuestra integral es

$$ \int^{\infty}_0 \int^b_a e^{-xt} dx dt = \int^b_a \int^{\infty}_0 e^{-xt} dt dx $$ $$ = \int^b_a \frac{1}{x} dx = \log(b/a) $$

Este es un método general, y a menudo todo este proceso se comprime en una integral bien conocida llamada Integral de Frullani .

Answer 2

Diferenciando bajo el signo integral. Fijar $a$ y que

$$ g(b) = \int_{0}^\infty \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} dt. $$

Diferenciación con respecto a $b$ obtenemos $$ g'(b) = \frac{d}{db}\int_{0}^\infty \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial b} \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} dt. $$ Hacer la diferenciación, $$ g'(b) = \int_{0}^{\infty} e^{-bt} dt = - \left.\frac{e^{-bt}}{b} \right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{b}. $$ Por lo tanto, debemos tener $g(b) = \ln b + C$ para alguna constante $C$ . Para determinar $C$ Enchufar $a$ y utilizar el hecho de que $g(a) = 0$ .

Nota. Aún no me he convencido de que todos los pasos de la prueba sean rigurosos. Editaré mi respuesta más adelante si es necesaria alguna argumentación adicional.