Cómo resolver la ecuación diferencial: $y'=\sqrt{|y|}$

Question

Al intentar resolver la ecuación diferencial: $y'=\sqrt{|y|}$. Me confundí de cómo lidiar con el valor absoluto. Quiero dibujar un boceto para el campo de dirección de la ecuación, y ver para qué valores iniciales no esta ecuación cumple las condiciones del Teorema de existencia y unicidad.

Traté de hacer la integral de acuerdo a la señal, depende de si $(y>0)$ o $(y<0)$. pero todavía no estoy seguro de si mi resultado es correcto.

resultado que me dieron:

• mientras $y>0$ : $y=({\frac{x}{2}+c})^{2}$
• mientras $y<0$ : $y=({-\frac{x}{2}+c})^{2}$

si ese es el caso, es difícil para mí imaginar el campo de la Dirección por estas dos ecuaciones, porque siempre están por encima del eje: $x$. ¿Cómo se ve? cualquier sugerencias?

Answer 1

Para el caso de $y

$$\frac{dy}{dx}=\sqrt{-y}$$

$$(-y)^{-\frac{1}{2}}\frac{dy}{dx}=1$$

$$-2\sqrt{-y}=x+c$$

$$-4y=(x+c)^2$$

$$y=-\frac{(x+c)^2}{4}$$

Esto debe que ayudará a visualizar el campo de dirección ahora. Algo como esto:

Answer 2

para el $y>0$ $$(y)^{-\frac{1}{2}}y'=1$ $$$2y^{\frac{1}{2}}=x+c$ $$$y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x+c)$ $$$y=\frac{1}{4}(x+c)^2=(\frac{x}{2}+\frac{c}{2})^2=(\frac{x}{2}+k)^2$ $esto mismo responder tu respuesta

Cuando el $y