Sea$G$ un grupo con orden 170 y$|Z(G)|$ divisible por 2. Demuestre que$G$ es cíclico.
Estoy pensando que necesito usar el teorema de Sylow de alguna manera pero realmente no sé por dónde empezar.
Aprecia cualquier ayuda!
Respuesta
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El orden de $G/Z(G)$ es un divisor de a $85$, por lo que es $1$, $5$, $17$ o $85$. El primer caso significa $Z(G)=G$.
Los casos de $5$ $17$ no puede suceder, porque si $Z(G)$ es adecuado el cociente $G/Z(G)$ no puede ser cíclica.
Ver Grupos de orden $pq$ son cíclicos para el caso de $85$: un grupo es cíclico, porque se $5$ no divide $17-1$. Por el mismo argumento que antes, este caso puede ser desestimado.
Por lo tanto $G$ debe ser abelian. Se puede terminar?
