Cómo probar que $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\left | x \right |^{\frac{3}{2}}y^{2}}{x^{4} + y^{2}} \rightarrow 0$

Question

Cómo puedo probar

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\left | x \right |^{\frac{3}{2}}y^{2}}{x^{4} + y^{2}} \rightarrow 0\;?$$

¡Gracias!

Answer 1

Supongo que desea mostrar

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{|x|^\frac{3}{2}y^2}{x^4+y^2}= 0.$ $ Aunque a veces no es la manera más bonita, cambiar a coordenadas polares es un enfoque general que va a resolver este tipo de límites. (y no tenemos que pensar mucho!) Que $x=r\cos \theta$, $y=r\sin\theta$. Entonces su límite es %#% $ #%

Ahora, desde

$$\lim{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{|x|^{\frac{3}{2}}y^{2}}{x^{4}+y^{2}}=\lim{r\rightarrow0}\frac{r^{\frac{3}{2}}|\cos\theta|^{\frac{3}{2}}r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\left(r^{2}\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta\right)}=\lim_{r\rightarrow0}r^{\frac{3}{2}}\frac{|\cos\theta|^{\frac{3}{2}}}{\left(r^{2}\cos^{4}\theta/\sin^{2}\theta+1\right)}.$$

podemos aplicar el teorema del apretón, y desde $$0\leq \frac{|\cos\theta|^{\frac{3}{2}}}{\left(r^{2}\cos^{4}\theta/\sin^{2}\theta+1\right)}\leq |\cos\theta|^\frac{3}{2}\leq 1$, vemos que el límite original es $\lim_{r\rightarrow 0}r^\frac{3}{2}=0$.

Espero que ayude,

Answer 2

$y \neq 0$, $$ y \le \frac{{|x|^{3/2 0} ^ 2}} {{x ^ 4 + y ^ 2}} = \frac{{|x|^{3/2}}} {{x ^ 4 /y ^ 2 + 1}} \le \frac{{|x|^{3/2}}} {1} = | x | ^ {3/2} \to 0. $$

EDIT: En retrospectiva, simplemente tenga en cuenta que $0 \le \frac{{y^2 }}{{x^4 + y^2 }} \le 1$, $(x,y) \neq (0,0)$, para concluir que $\frac{{|x|^{3/2} y^2 }}{{x^4 + y^2 }} \to 0$ $x \to 0$, independientemente de $y$.