Búsqueda de generadores para el kernel de $K[X,Y]\to K[T^3,T^5]$

Question

Deje $K$ ser un campo con char$(K)\neq 3.$

Deje $\phi:K[X,Y]\to K[T^3,T^5]\subset K[T]$ $K$- hom tal que $\phi(X)=T^3$ $\phi(Y)=T^5.$

Problema: Encontrar los generadores de $\ker\phi.$

---

Intento: es claro que $Y^3-X^5 \in \ker\phi.$ I afirman que, en realidad, tenemos $\ker\phi = (Y^3-X^5).$

Esto sigue a si puedo demostrar que no hay cero elementos en $\ker\phi$ de grado en $Y$ menos de 3.

Supongamos que $f_0(X)Y^2+f_1(X)Y+f_2(X) \in \ker\phi;$ que es,

$$(1) \hspace{1em} f_0(T^3)T^{10}+f_1(T^3)T^5+f_2(T^3)=0 \text{ in } K[T].$$

Deje $L$ ser una extensión de $K$ que tiene una primitiva 3º de la raíz de la unidad, decir $\omega.$ Luego de (1), tenemos

$$(2) \hspace{1em} \omega f_0(T^3)T^{10}+\omega^2f_1(T^3)T^5+f_2(T^3)=0 \text{ in } L[T],$$

$$(3) \hspace{1em} \omega^2f_0(T^3)T^{10}+\omega f_1(T^3)T^5+f_2(T^3)=0 \text{ in } L[T],$$

donde (2) viene de $T\mapsto \omega T$ y (3) viene de $T\mapsto \omega^2 T.$ la suma de (1), (2) y (3) los rendimientos $$3f_2(T^3)=0$$ y que, por ende, $f_2(X)=0.$ Estamos, pues, reducido a $$f_0(T^3)T^5+f_1(T^3)=0.$$ Un procedimiento similar a la anterior muestra que el $f_1(X)=0$ y, por tanto, que $f_0(X)=0.$ $\;\;$ Q. E. D.

---

Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera revisar mi argumento (y, posiblemente, ofrecer diferentes approachs). Muchas gracias!

Answer 1

Su enfoque está bien para mí. Voy a proponer otro método que no requiere ninguna hipótesis sobre el carácter (a menos que me he perdido algo!).

$\ker \phi$ es un primer ideal de $K[X,Y]$, y no es un ideal maximal desde $\operatorname{Im}\phi=K[T^3,T^5]$, no es un campo. Por lo que es un alojamiento ideal de la altura de la $1$, y en la U. F. D. $K[X,Y]$, que es generado por un elemento irreductible. Por lo tanto, todos tenemos que mostrar es $Y^3-X^5$ es irreductible.

Si no lo fuese, tendría un factor linear en $Y$, decir $Y-P(X)$, y podríamos escribir $\;X^5=P(X)^3$ en el polinomio anillo de $K[X]$. Esto no puede suceder como a $\deg P(X)^3$ es múltiplo de $3$.