Probar$f(x) = x$ es integrable

Question

Estoy tratando de demostrar que $f(x) = x$ es integrable, el uso de esta definición. He visto en algún sitio que una forma equivalente a probar que es para demostrar que, dado $\epsilon>0$ siempre podemos tener:

$$S(f,P)-s(f,P) <\epsilon$$

Donde, el dúo a la naturaleza de la función $f$, tenemos:

$$S(f,P) = \sum t_i(t_i-t_{i-1}) = \sum t_i^2-\sum t_i t_{i-1}$$ $$s(f,P) = \sum t_{i-1}(t_i-t_{i-1}) = \sum t_{i-1}t_i-\sum t_{i-1}^2$$

$$S(f,P)-s(f,P) = \sum t_i^2-\sum t_i t_{i-1} -\left(\sum t_{i-1}t_i-\sum t_{i-1}^2\right) =$$ $$\sum t_i^2-2\sum t_it_{i-1}+\sum t_{i-1}^2$$

No veo cómo ayuda. Sé que la suma está en el intervalo de $[0,1]$, por lo que podría ayudar con esto. Yo podría tomar la partición de alguna manera relacionados con el$\epsilon$, por lo que esta suma de arriba siempre terminan menos de $\epsilon$ pero no tengo idea de cómo hacerlo

Answer 1

Lo que tienes es %#% $ de #% dado $$S(f,P)-s(f,P)=\sum(ti-t{i-1})^2.$, elija $\varepsilon>0$ lo que $N$. Ahora elegir la partición $N>\frac{1}{\varepsilon}$. Entonces tenemos %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia:\begin{align} \sum t_i^2-2\sum tit{i-1}+\sum t_{i-1}^2 & = \sum t_i^2-2 tit{i-1} + t{i-1}^2 \ & = \sum (t{i} - t_{i-1})^{2} \end{align} y se puede utilizar la partición uniforme