¿Si ${ai}$ es un conjunto de enteros positivos que contiene arbitrarias progresiones aritméticas largo, cómo mostrar que $\sum\limits{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_i}=\infty$?
Respuesta
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Su afirmación es falsa.
Que $A = {ai} = \bigcup{k=1}^\infty A_k$, que % $ $$ A_k = 4^k+1,\ldots,4^k+2^k. $en el % de una mano $Ak$es una progresión aritmética de longitud $2^k$, y así $A$ contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En la otra mano $$ \sum{i=1}^\infty \frac{1}{ai} \leq \sum{k=1}^\infty \frac{2^k}{4^k} = 1. $ $
