¿Por qué es $ \ \int^x_{x_0} v\frac{dv}{dx} \, dx =\int^v_{v_0} v \, dv$?

Question

Por qué es %#% $ #%

donde $$\int^x_{x0} v\frac{dv}{dx} \, dx =\int^v{v_0} v \, dv$ es una función de $v$ y $x$ es una función de tiempo $x$?

¿Saber implica alguna sustitución, pero que uno? Lo único que veo es dejar $t$ pero ¿por qué nos permite definir "sólo" $\ dx=dv/\frac{dv}{dx} \ $ al igual que?

---

$dx$

$ $

$ $

Answer 1

En primer lugar vamos a aclarar los significados de "libre de la variable" y "variable vinculada".

$$ \sum_{j=1}^4 j^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \sum_{k=1}^4 k^2. $$ Las variables $j$ $k$ anteriores son variables vinculadas. Uno libremente puede cambiar el nombre de una variable ligada de $j$ $k.$El valor de la suma de $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ no depende del valor de algo llamado $j$ o $k.$ Por otro lado, el valor de $$ \sum_{j=1}^4 \cos(j\ell) $$ depende de qué número $\ell$ es. Por lo $\ell$ es una variable libre en esta expresión.

La regla de la cadena nos dice que si $h(x) = g(v(x))$ $h'(x) = f'(v(x))v'(x).$ por lo Tanto $$ \int_a^b f'(v(x))v'(x)\, dx =\int_a^b h'(x) \, dx = h(b) - h(a) = \underbrace{f(v(b)) - f(v(a)) = \int_{v(un)}^{v(b)} f'(v) \, dv}. $$ En la integral sobre la $\underbrace{\text{underbrace}},$ $v$ es una variable ligada y podemos cambiar el nombre de ella libremente. Podríamos correctamente escrito $$ f(v(b)) - f(v(a)) = \int_{v(b)}^{v(un)} f'(w)\, dw. $$ No somos "de la definición de" $dx$ de que manera; estamos "de la definición de" $dv$ de que manera, y podríamos tener igualmente correctamente llamado, en $dw.$

Lo que justifica la integración por sustitución es la regla de la cadena. La regla de la cadena es la diferenciación por sustitución. Por ejemplo, en $$ y = (x^3 - 5x+ 12)^{40}, $$ uno puede utilizar la sustitución de $u = x^3 - 5x+12$ y, a continuación, escribir $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 40u^{39} \cdot (3x^2 - 5) = 40(x^3 - 5x + 9)^{39}\cdot (3x^2 - 5). $$

Answer 2

Este es un problema de sustitución. Han pasado de una variable de $x$ a $ v$ variable. Límites de integración cambian como resultado. Según $ x $ $ x_0 $ $x_1$, $v$ va de $v_0$ $v_1$.

Answer 3

La notación aquí es atroz; probablemente el de la izquierda es %#% $ $$\int_{x_0}^{x_1} v(x) \frac{dv}{dx}(x)\,dx,$ #% un diffeomorphism de $v$. Podemos introducir la nueva variable $(x_0,x_1)$ y hacer la sustitución %#% $ #%