¿Qué se entiende por evolución temporal unitaria?

Question

Según la evolución temporal, el sistema cambia de estado con el paso del tiempo. ¿Hay alguna diferencia entre la evolución temporal y la evolución temporal unitaria?

Answer 1

Sí, hay una diferencia. La evolución unitaria del tiempo es el tipo específico de evolución del tiempo en el que se conserva la probabilidad. En la mecánica cuántica, se trata normalmente de una evolución temporal unitaria.

Supongamos que se tiene un estado (en el momento $t=0$ ) dado por $|\alpha \rangle$ . Para encontrar el estado en un momento posterior $t=T$ dado por $|\alpha (T) \rangle$ aplicamos el operador de evolución temporal (unitario) $U$ :

$$U|\alpha \rangle = |\alpha (T) \rangle$$

donde

$$U = e^{-iHT}$$

y $H= $ Hamiltoniano del sistema, que es hermitiano.

La conservación de la probabilidad significa matemáticamente:

$$\langle \alpha|\alpha \rangle = \langle \alpha (T)|\alpha (T) \rangle$$

Físicamente, significa que la probabilidad de existencia del sistema cuántico, descrito inicialmente por el estado $|\alpha \rangle$ y más tarde por $|\alpha (T) \rangle$ , lo hace no cambiar con el tiempo. El sistema cuántico existe en $t=0$ con probabilidad $=1$ y también en $t=T$ con probabilidad $=1$ . El estado evoluciona en el tiempo desde $t=0$ a $t=T$ pero no se filtra ninguna información sobre el sistema cuántico durante este intervalo de tiempo. El sistema que existía en $t=0$ sigue existiendo en su totalidad más tarde en $t=T$ . Esto es físicamente significativo para exigirlo a una teoría, porque la información sobre un estado no debería perderse durante la evolución. Claro que la información puede enredarse con el paso del tiempo, pero todo ello debería seguir existiendo, en principio. Por ejemplo, si se quema un libro en carbón, la información dentro del libro se pierde a todos los efectos prácticos. Pero, toda la información todavía existe, en principio , codificada en las correlaciones entre el carbón y las partículas de ceniza.

A veces, es más fácil/útil explicar ciertos fenómenos abandonando la evolución unitaria del tiempo, por ejemplo, en las partículas inestables o en la desintegración radiactiva. Allí, a medida que pasa el tiempo, el estado madre decae en estados hijos. Si se observa sólo el estado madre subsistema lo hace no sufren una evolución temporal unitaria porque pierden información sobre su estado con el paso del tiempo. La información se pierde en los subsistemas de los estados hijos. La probabilidad (de que el estado madre exista) no se conserva; disminuye (exponencialmente) con el tiempo. Si se observa el completo sistema, en su conjunto, la evolución es unitaria, como se esperaba. Pero en la radiactividad, a menudo sólo necesitamos saber cómo el estado madre subsistema se desintegra.

Answer 2

Sí, hay una diferencia entre la evolución del tiempo y la evolución unitaria del tiempo. La evolución no unitaria proviene de tener un subsistema.

Consideremos una mezcla estadística de sistemas puros, es decir, supongamos que existe un conjunto de sistemas de manera que una fracción $p_1$ está en el estado $|1>$ , $p_2$ están en el estado $|2>$ y así sucesivamente. Entonces todo el conjunto estadístico puede ser descrito por una denominada matriz de densidad, $\rho = \sum_i |i><i|$ . Podemos considerar la evolución de este operador de densidad, que suele escribirse como la llamada ecuación de Liouville $\frac{d\rho}{dt}=\mathcal{L}\rho$ . Aquí $\mathcal{L}$ es el "Liouvillian", un operador que transiciona $\rho$ en el tiempo como $U$ transita el estado puro en el tiempo para un estado puro.

Si la dinámica está gobernada por un Hamiltoniano, entonces el Liouvilliano (el "propogador" del estado) es simplemente su relación de conmutación con el estado, $\mathcal{L}=-i/\hbar (H\rho-\rho H)$ . Esto corresponde a la evolución hamiltoniana estándar, y es unitaria.

Sin embargo, hay que considerar que sólo se mira un subsistema del sistema ampliado. El estado de dicho subsistema puede describirse mediante un operador de densidad "reducido", que en realidad es un operador de densidad (matriz) que describe sólo el subsistema. Sin embargo, aunque la evolución del sistema ampliado es unitaria y sigue un Hamiltoniano, la evolución de la densidad del subsistema generalmente no seguir un Hamiltoniano y no es unitario. En cambio, suele ser "disipativo". Por ejemplo, el subsistema puede disipar energía en el entorno y enfriarse hasta alcanzar un estado térmico.

No existe una forma simple general para el Liouvillian (el propagador) para los subsistemas. Un caso relativamente sencillo es cuando el subsistema evoluciona de forma markoviana, lo que suele ser el caso de los sistemas que se equilibran térmicamente. Entonces el Liouvilliano tiene un término unitario, impulsado por un Hamiltoniano igual que el anterior, pero también una corrección: un término no-Hamiltoniano, un término que sigue una forma especial llamada "forma Lindblad" en lugar de la conmutación-con-el-estado escrita anteriormente.

Así pues, la evolución no unitaria está en realidad en todas partes. Siempre que no se puedan descuidar las interacciones con el entorno, de modo que, por ejemplo, se equilibre térmicamente con él, se tiene una evolución no unitaria (hay algunas salvedades, pero casi siempre es cierto). Lo difícil es conseguir una evolución unitaria. Tienes que aislar tu sistema del entorno lo suficiente como para poder despreciar la termalización, etc.

La mayor diferencia, quizás, entre estos dos tipos de evolución es que la evolución no unitaria no es (genéricamente) reversible. Así se consigue la termalización. La dinámica no unitaria también puede cambiar las poblaciones, reflejando, por ejemplo, una disminución de los estados altamente energéticos a medida que el sistema se enfría hacia su estado básico.

Answer 3

La mecánica cuántica es una teoría probabilística y todas las probabilidades deben sumar siempre 1. Esto impone una restricción a la teoría; a medida que el estado del sistema evoluciona en el tiempo, la probabilidad total debe permanecer fija.

Si denotamos el estado del sistema en el momento $t$ como $|\psi(t)\rangle$ entonces podemos definir el operador de evolución temporal $U(t^\prime)$ como operador por $$ U(t^\prime)|\psi(t)\rangle = |\psi(t+t^\prime)\rangle $$ para que tome un estado en el momento $t$ y nos da el estado un tiempo $t^\prime$ más tarde. Ahora el requisito de que la probabilidad se conserva nos dice que

\begin{align} \langle \psi(t) | \psi(t)\rangle &= \langle \psi(t+t^\prime) | \psi(t+t^\prime)\rangle \\ &= \langle \psi(t) |U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime)| \psi(t)\rangle \end{align} para todos los estados $ | \psi(t)\rangle$ . Esto implica que $$U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime) = 1$$ lo que implica que $U(t)$ es un operador unitario.

En consecuencia, este tipo de evolución temporal se conoce como evolución temporal unitaria. Esto tiene muchos resultados importantes para lo que es posible cuando un estado cuántico evoluciona en el tiempo, como la teorema de no clonación