¿Cómo funciona la construcción del producto de la compactación Stone-Cech?

Question

El artículo de Wikipedia sobre la compactación Stone-Cech da varias construcciones de la misma, una de las cuales es esta:

Un intento de construir la compactación Stone-Cech de $X$ es tomar el cierre de la imagen de $X$ en $${\displaystyle \prod C}$$ donde el producto es sobre todos los mapas de $X$ a los espacios compactos de Hausdorff $C$ . Esto funciona intuitivamente pero falla por la razón técnica de que la colección de todos esos mapas es una clase propia y no un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, se pueden restringir los espacios compactos de Hausdorff $C$ para tener un conjunto subyacente $P(P(X))$ (el conjunto de potencias del conjunto de potencias de $X$ ), que es lo suficientemente grande como para tener una cardinalidad al menos igual a la de todo conjunto compacto Hausdorff al que $X$ se puede mapear con imagen densa.

Olvida la advertencia sobre los conjuntos y las clases adecuadas, sólo estoy tratando de entender la idea. Mi pregunta es, ¿qué hace ${\displaystyle \prod C}$ ¿quieres decir? No entiendo "el producto es sobre todos los mapas de $X$ a los espacios compactos de Hausdorff $C$ ". ¿De qué estamos tomando exactamente un producto?

¿Estamos tomando un producto cartesiano de espacios compactos de Hausdorff, o estamos tomando algún tipo de producto de mapas, o qué?

Answer 1

Dejemos que $S$ sea el conjunto* de todos los mapas continuos $f:X\to C$ donde $C$ puede ser cualquier espacio compacto de Hausdorff. Entonces el producto en cuestión es el producto $$\prod_{f\in S}\operatorname{codomain}(f).$$ Es decir, el conjunto de índices del producto es $S$ y el factor correspondiente a cada mapa $f:X\to C$ en $S$ es el espacio $C$ . Se trata de un producto ordinario de espacios topológicos.

Denotando este producto por $P$ existe un mapa canónico $F:X\to P$ . En concreto, para cada $f\in S$ El $f$ -coordinación de $F$ es sólo $f$ . Es decir, $F(x)(f)=f(x)$ . La compactación Stone-Cech de $X$ es entonces (módulo de cuestiones teóricas de conjuntos) el cierre de la imagen de este mapa $F$ .

*Ok, en realidad es sólo una clase, pero eso no es importante aquí.