Es mi solución correcta a este grupos/anillos

Question

Así que, básicamente, todavía estoy aprendiendo acerca de los Grupos/Anillos y me preguntaba si mi solución para este ejercicio es correcto. También ¿cómo puedo solucionar el b parte del ejercicio (ya que no estoy seguro).

Ejercicio: En un conjunto R, hemos definido un $*$ operación de la siguiente manera: para cualquier $x,y \in R$ , tenemos $x*y = ax+by+c$, para algunas de las $a,b,c \in R$.

a)Hallar a,b,c tales que $(R,*)$ es un grupo abelian

b)Encontrar la $c$ tal que $(R, *, \times)$ es un anillo, donde '$\times$' es la multiplicación normal sobre R.

Mi Solución:

a) Para demostrar que es abelian grupo. He creado la siguiente ecuación $$x*y = y*x \implica ax+by+c = ay+bx+c \implica ax+by = ay+bx \implica ax - ay = bx - por \implica una(x-y) = b(x-y) \implica a = b$$ Therefore in order for $(R, *) $ to be an abelian group $$ must be equal to $b$. Es esto correcto?

También para la parte b este es mi pensamiento (que en realidad no resuelto)

b) ya Hemos demostrado que es un grupo abelian si $a = b$ por lo tanto ahora tenemos que demostrar el cierre con '$\times$', la asociación con '$\times$' y distributiva con '$\times$'. Es mi forma de pensar correcta si sí, ¿cómo puedo finalizar esta solución o hay un enfoque diferente a este?

Muchas gracias!

Answer 1

Estás en lo correcto, que para * * * * ser abelian $a= b$

Pero para que esto sea un grupo, la operación debe ser también asociativa, debe ser una identidad, y cada elemento debe tener un elemento inverso.

No creo que la asociatividad será un problema, sin embargo, se debe verificar.

Pero la identidad...

Hay extists y $e$ tal que ex = xe = x para todas las $x\in R$

$x*e = ax + ae + c = x\\ y*e = ay + ae + c = y\\ a(x-y) = x-y$

$a = 1$

$e = -c$

$x * x^{-1} = x + x^{-1} + c = e = -c\\ x^{-1} = -2c - x$

Si $R$ es un anillo, entonces la multiplicación distribuye sobre la suma. Vamos a tratar de multiplicación como la multiplicación ordinaria.

$x(y*z) = xy * xz\\ x(y + z + c) = xy + xz + c\\ xy + xz + xc = xy + xz + c\\ c = 0$

Answer 2

No tengo suficiente reputación para comentar, así que voy a publicar como una respuesta.

Con el fin de determinar que un par de $(\mathbb R, *)$ es un grupo abelian, debemos en primer lugar y ante todo, determinar que es en realidad un grupo, entonces podemos comprobar que es abelian. Para comprobar que se trata de un grupo, debemos tener

• $\forall x,y\in\mathbb R: x*y\in\mathbb R$
• $\forall x,y,z\in\mathbb R: (x*y)*z=x*(y*z) $
• $\exists e\in\mathbb R\ \forall x \in\mathbb R : e*x = x*e$
• $\forall x\in\mathbb R \ \exists x^{-1}: x*x^{-1} = x^{-1}*x = e$

Es decir, tenemos que asegurar el cierre y el producto debe ser asociativa. Debería de existir un neutral, o de la unidad, elemento $e$, y cada elemento debe tener un elemento inverso.

Usted ya ha hecho progresos en la solución de la parte a), sólo asegúrese de tomar en cuenta las ecuaciones anteriores cuando la determinación de las constantes $a,b,c$!

Como para la parte b), debemos comprobar que cumplimos con la definición de un anillo, que es $(\mathbb R,*,\times)$ debe ser tal que $(\mathbb R,*)$ es un grupo abelian y además

• $\forall x,y,z\in \mathbb R: (x\times y)\times z = x\times(y\times z)$
• $\forall x,y,z \in \mathbb R:x\times(y*z) = (x\times z)*(x\times y)$
• $\exists u\in\mathbb R \ \forall x\in\mathbb R: u\times x = x\times u$

Es decir, además de exigir que tenemos un grupo abelian con respecto a la operación $*$ requerimos que la operación $\times$ es asociativa y distribuye más de $*$. Esto puede hacerse mediante la solución de los asociados a ecuaciones anteriores, como ya hizo en su intento! Una buena estrategia es que siempre a estado en la definición (o axiomas) y comprobar uno por uno.