Pregunta relacionada con la traza y el conmutador de matrices

Question

Dejemos que $K$ sea un campo cualquiera y $n\in \mathbb N$ . Para cada $A\in M_n(K)$ definan una forma lineal $\lambda_A: M_n(K) \rightarrow K$ enviando la matriz $M$ a $\lambda_A(M):= \operatorname{Tr}(AM)$ . El mapa $\lambda: M_n(K) \rightarrow M_n(K)^*$ definida de esta manera es un isomorfismo, como puede verse a partir de la inyectividad y la igualdad de dimensiones (que son finitas). La cuestión es la siguiente.

Dejemos que $A, B\in M_n(K)$ sean dos matrices tales que para cada $M\in M_n(K)$ que conmuta con $A$ (es decir, que $AM=MA$ ), tenemos $\lambda_B(M)=0$ . Demostrar que $B=AC-CA$ para alguna matriz $C\in M_n(K)$ .

Siendo la recíproca claramente cierta, la afirmación anterior caracteriza exactamente todas las matrices que pueden escribirse como $AC-CA$ para alguna matriz $C\in M_n(K)$ .

Como cuestión previa, he conseguido demostrar que $$\operatorname{Ker}(\operatorname{Tr})=\operatorname{Span}\{AB-BA\,|\,A,B\in M_n(K)\}$$ La inclusión del espacio de la derecha -que yo llamo $E$ - en el interior del núcleo es realmente claro. Sin embargo, puede que no esté claro que el espacio de la derecha sea un hiperplano. Si suponemos que no lo es, podemos encontrar otro hiperplano $H$ tal que $E\subset H$ y $H\not = \operatorname{Ker}(\operatorname{Tr})$ . El hiperplano $H$ es el núcleo de alguna forma lineal que es linealmente independiente de $\operatorname{Tr}$ . Se puede escribir de forma única como $\lambda_X$ para alguna matriz $X\in M_n(K)$ que no es un múltiplo de la matriz identidad $I_n$ . Sin embargo, la condición de que $\lambda_X$ se desvanece en $E$ implica que $X$ es un múltiplo de la identidad, por lo que obtenemos una contradicción. Por lo tanto, $E$ es un hiperplano y, por tanto, por igualdad de dimensiones, debemos tener la igualdad anterior (nótese que el núcleo de $\operatorname{Tr}$ nunca es trivial).

He intentado resolver el problema con este resultado, pero no puedo avanzar. Tomando $M=I_n$ podemos expresar $B$ como $XY-YX$ para algunas matrices $X,Y \in M_n(K)$ . Considerando $A$ también podemos expresar $BA$ como conmutador. Pero el problema es que no tenemos ni idea de cómo serían estos conmutadores. En particular, no se me ocurre ninguna forma de demostrar que una de las matrices podría ser $A$ .

¿Podríais darme alguna pista/consejo que me lleve a la solución?

Answer 1

Sugerencia

Considere el operador $ad_A : M_n(K) \to M_n(K)$ definido por: $$ad_A(M)=AM-MA$$ entonces $A$ y $M$ conmutan si $ad_A(M)=0$ y el problema que se intenta resolver se puede reescribir como

Demostrar que $\lambda_B(M)=0$ , $ \forall M \in \ker(ad_A)$ si y sólo si $B \in \operatorname{im}(ad_A)$ .

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Observaciones:

• utilizando la inclusión y las propiedades de $\lambda$ que ya has probado y que denota $d=\dim(\ker(ad_A))$ se puede demostrar que ambos son subespacios de dimensión $\dim(\operatorname{im}(ad_A))=n^2-d$ .

• una forma aún más directa es la siguiente: notar que $(A,B) \mapsto \operatorname{Tr}(B^T A)=\lambda_{B^T}(A)$ es un producto escalar que necesitas probar: $$B^T \in \ker(ad_A)^\perp \Leftrightarrow B \in \operatorname{im}(ad_A)$$ que puede recordar algunos resultados clásicos.