Asientos de los estudiantes para que sus números son diferentes tanto de los números en sus sillas

Question

He leído esta pregunta en un libro sin respuesta como un ejercicio. He leído las Matemáticas por mí mismo. Esta es la pregunta:

En una clase, hay $10$ sillas para sentarse. Hay dos números en cada silla:
$(1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (9,10) (10,1)$
Hay $10$ estudiantes con los números de $1$ a $10$. De cuántas maneras podemos sentarnos a los estudiantes de modo que sus números son diferentes de los números en la silla en la que se sientan? (la respuesta de la pregunta en la mayoría de las $6$ dígitos)

Es posible que me ayude?

Answer 1

Básicamente están pidiendo el 10 de Ménage número (el número de permutaciones $s$ de $[0, ..., n-1]$ tal que $s(i) \ne i$ e $s(i) \ne i+1 (\text{mod}\space n)$ para todos los $i$).

El n-ésimo Menage número es dado con la fórmula siguiente:

$$A_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{2n}{2n-k} {2n-k\choose k} (n-k)!$$

La secuencia se define y se describe aquí y hay un artículo en Wikipedia . Usted puede encontrar una gran cantidad de referencias en el mismo problema de toda la web. Usted puede comenzar desde allí.

Y la respuesta es 439792 :)