Deje $M$ ser positiva definida y simétrica de la matriz:
$$M = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$$
donde $a_{ij} = a_{ji}$. Considere la posibilidad de la banda de matrices $B^{(d)}$ con componentes de $b_{i j}^{(d)} = a_{i j}$ si $|i-j| < d$ e $b_{i j}^{(d)}=0$ lo contrario. Por lo tanto $B^{(d)}$ es una banda de la matriz de la "anchura" $d$.
Por ejemplo
$A$B^{(2)} = \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{32} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{43} & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & a_{34} & a_{44} & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n - 1, n - 1} & a_{n - 1, n}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n, n - 1} & a_{n n} \end{array}\right)$$
Es $B^{(d)}$ positiva definida?
Motivación: estoy tratando de construir un preconditioner para un problema de optimización. Calcular el total de Hess es computacionalmente costoso, pero puedo calcular un par de diagonales sin problemas. Quiero usar una banda de aproximación, como un preconditioner, pero necesito estar seguro de que va a ser posdef.
