Cómo probar que$\lim_{n\to\infty}\int_n^\infty f(x) dx = 0$ cuando$f$ es integrable.

Question

Supongamos $f$ es no negativo función integrable. (Aquí, las integrales son integrales de Lebesgue.) Hay un modo elemental para demostrar que $$ \lim_{n\to\infty}\int_n^\infty f(x) dx = 0 $$ sin usar el teorema de convergencia dominada?

Aquí es cómo creo que se puede demostrar con el teorema de convergencia dominada: Desde $f(x)\chi_{[n, \infty)}(x) \to 0$ e $\lvert f(x)\chi_{[n, \infty)}(x) \rvert \leq f(x)$, por el teorema de convergencia dominada, tenemos que $$ \lim_{n\to\infty}\int f(x) \chi_{[n, \infty)} = \lim_{n\to\infty}\int_n^\infty f(x) dx = 0. $$

Tal vez hay una manera de demostrarlo con la monotonía teorema de convergencia?

Answer 1

Deje $f$ ser integrable y no negativa. A continuación, $A \mapsto \int_A f$ es una medida finita, vamos a llamar a $\varphi$. Ahora, una muy fundamental lema sobre las medidas que afirma que para que una disminución de de la cadena de subconjuntos $A_0 \supset A_1 \supset \ldots$ con $\varphi(A_0) < \infty$ tenemos $\lim_{n \to \infty} \varphi(A_n) = \varphi(\cap_{n \in \mathbb{N}} A_n)$. En su caso, la intersección es vacía y se obtiene el resultado.

Answer 2

De hecho, puede usted probar esto mediante la monotonía teorema de convergencia. Deje $f_n = f\cdot \chi_{[0,n]}$. A continuación, $0\le f_n \le f_{n+1}$ por cada $n$, e $f_n \to f$ pointwise. Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, $$ \int f_n\,dx \a \int f\,dx. $$ De curso $f \ge f_n$, por lo que el límite anterior significa realmente la $\lim_{n\to\infty}\big(\int f\,dx - \int f_n\,dx\big) = 0$. Por la linealidad de la integral, tenemos $$ \int f\,dx\int f_n\,dx = \int f\cdot(1-\chi_{[0,n]})\,dx = \int f\cdot \chi_{(n,\infty)}\,dx = \int_n^\infty f\,dx. $$ (Por supuesto, $0\le \int f_n\,dx <\infty$ por cada $n$ desde $f$ es integrable, por lo que la resta anterior tiene sentido en realidad.) El reclamo sigue dejando $n\to\infty$.

Answer 3

Podemos ir de nuevo a la definición de la integral de Lebesgue y utilice el hecho de que para todos los positivos $\varepsilon$, existe una función de $s$ que es una combinación lineal de la función de indicador de conjunto finito de medida tal que $f-s$ es no negativo y $\int_{\mathbb R}(f-s)(x)\mathrm dx\lt \varepsilon$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar el resultado de $f$ es un indicador de la función de un conjunto finito de medida. Esto se deduce del hecho de que si $A$ tiene una medida finita, entonces la secuencia de $\left(A_n\right)_{n\geqslant 1}$ definido por $A_n:=A\cap \left[n,+\infty\right)$ es no creciente y $A_1$ tiene un número finito de medida.