¿Que $a$ crece esta función? $ f(x) = \left( \frac {a-2}{a-4}\right) ^{-x} $

Question

Para que $a$ es esta función creciente? $$ f(x) = \left( \frac {a-2}{a-4}\right) ^{-x} $$

Así que primero me gustaría reescribir esto como: $$ f(x) = \left( \frac {a-4}{a-2}\right) ^{x} $$

Estaba pensando que para que la función sea creciente en el conjunto de la fracción tiene que ser más grande que $1$ o más pequeña de lo $-1$

Así que me consta que en dos condiciones: $ \frac {a-4}{a-2}> 1 $ e $ \frac {a-4}{a-2} < -1 $

He resuelto tanto de las desigualdades y el resultado debe ser: para la primera desigualdad: $( -\infty, 2) $
por el otro: $( 2, 3) $

Y ahora, para el resultado final debería combinar ambos, por lo que sería $K =\left\{( -\infty, 2) U ( 2, 3) \right\} $

Es este corrrect? No tengo idea de cómo más puedo encontrar .. Pero mi intuición me dice que algo no es correcto ..

Gracias por la ayuda

Answer 1

es cierto para todas las <span class="math-container">$\frac {a-4}{a-2}> 1$</span> <span class="math-container">$a</span>

es verdad <span class="math-container">$\frac {a-4}{a-2} <span class="math-container">$a\in(2,3)$</span> de todos pero no para todo real <span class="math-container">$x$</span> - considerar <span class="math-container">$x=\frac12$</span></span>

Answer 2

Como se explica por @Hans, sólo se define una función exponencial, si la base es positiva. Y va en aumento si la base es mayor que <span class="math-container">$1.$</span>

Así solucionamos <span class="math-container">\begin{equation} \begin{aligned} \frac {a-4}{a-2}&>1\ \frac{a-4}{a-2}-1&>0\ \frac{-2}{a-2}&>0\ \end{alineado} \end{equation}</span> puesto que el numerador es negativo, esto sólo es posible si el denominador <span class="math-container">$a-2 el conjunto de soluciones es <span class="math-container">$K =( -\infty, 2).$</span></span>