¿Número que puedo borrar?

Question

Todos los enteros positivos mayores que $2$ están escritas en un tablero. Primero borramos número $3$ e $5$.

Con 4 números enteros positivos $a,b,c,d$ satisfacción $a+b=c+d$si $ab$ se borra, a continuación, $cd$ puede ser borrado, de lo contrario $cd$ no puede ser borrado.

Por ejemplo, $3=3 \times 1$, $3+1=4=2+2$ , a continuación, $2 \times 2 = 4$ se borra.

una. ¿Cuáles son las condiciones de un número que puede ser borrado ?

b. Si no sólo a $3$ e $5$, pero cada primer número se borra al principio, pueden todos los demás números se borrarán? Si no, ¿cuáles son las condiciones de un número para ser borrado ?

(Lo siento por mi última pregunta, el inglés es mi segunda lengua)

Answer 1

Un primer $p>5$ puede ser borrada si $m=2(p-1)$ ha sido borrado, como $2+(p-1)=p+1$. Tenga en cuenta que $$m=2\times(p-1)=4\times\frac{p-1}{2},$$ donde $p-1$ es porque a $p>5$ es primo. Esta factorización de $m$ muestra que puede ser borrado si $\frac{p+5}{2}$ ha sido borrado, porque $$\frac{p-1}{2}+4=\frac{p+5}{2}+1,$$ donde claramente $\frac{p+5}{2}<p$ becase $p>5$.

Un número compuesto $n=uv$ con $u,v>1$ puede ser borrada si $m=u+v-1$ ha sido borrado, como $$1+(u+v-1)=u+v.$$ De curso $m<n$ porque $u,v>1$.

En particular, un número entero $n>5$ puede ser borrada si todos los números enteros de menos de $n$ han sido borrados, así que usted puede utilizar la inducción.

Answer 2

Algo un largo comentario (no es una respuesta completa).

La primera cosa que me gustaría sugerir es que debe trabajar a través de algunos ejemplos y ver qué pasa. Te voy a ayudar con algunos de los pasos iniciales.

Pensar acerca de lo que estás borrando, vamos a $n$ ser un número que ha sido borrada. Luego, para cada par de factores $ab$ , de modo que $ab=n$, calcula el $a+b=m$. Siguiente, usted encontrará todas las otras formas de escribir $m$ como una suma $m=c+d$ y, a continuación, elimine cada uno de los $cd$ encontrado en este camino. A continuación, continuar hasta que no hay nada más para eliminar (o ver el patrón).

En su conjunto, de empezar con $3$ e $5$ eliminado.

Eliminado: $3$ e $5$.

• Mediante el borrado $3$, usted sabe que $3$ factores $3=1\cdot 3$. Por lo tanto, $a+b=1+3=4$. La única sumas iguales a $4$ se $1+3$ e $2+2$. Tomando $c=2$ e $d=2$ da $cd=4$, lo $4$ es eliminado. Ya hemos considerado todos los pares de factores de $3$, no hay nada más que $3$ nos puede decir.

Eliminado: $3$, $4$, e $5$.

• Mediante el borrado $4$, usted sabe que $4$ factores $4=1\cdot 4$ o $2\cdot 2$. En el primer caso, $1+4=5$, e $5$ puede ser escrito como $5=1+4$ o $5=2+3$. El primer caso lleva a la $1\cdot 4=4$, que ya está eliminado, pero $2\cdot 3=6$, que ahora se pueden eliminar. Por otro lado, el uso de $2\cdot 2=4$, tenemos dos maneras de escribir $4$ como una suma, $4=1+3$ o $4=2+2$. En cualquier caso, el producto es $1\cdot 3=3$ o $2\cdot 2=4$, ambos de los cuales ya han sido eliminados. Por lo tanto, no hay nada más que $4$ nos puede decir.

Eliminado: $3$, $4$, $5$, e $6$.

• Mediante el borrado $5$, usted sabe que $5$ factores $1\cdot 5=5$. Por lo tanto, la suma de estos dos es $1+5=6$. Hay tres maneras de escribir $6$ como una suma, $1+5=6$, $2+4=6$, e $3+3=6$. El primer par tiene producto $1\cdot 5=5$, que ya ha sido eliminado. El segundo par se ha de producto $2\cdot 4=8$, que ahora se pueden eliminar. El tercer par ha de producto $3\cdot 3=9$, que también puede ser eliminado.

Eliminado: $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, e $9$.

• Mediante el borrado $6$, usted sabe que $6$ factores $1\cdot 6=6$ e $2\cdot 3=6$. Por lo tanto, el importe correspondiente se $1+6=7$ o $2+3=5$. Hay tres sumas para obtener $7$, $1+6=7$, $2+5=7$, e $3+4=7$. Hay dos sumas para obtener $5$, $1+4=5$ e $2+3=5$. Estos, combinados, permiten eliminar $6$, $10$, $12$, $4$, y 6$.

Eliminado: $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, e $12$.

Continuar por esta hasta encontrar un patrón.