Mapas de homotópicas inducen el mismo homomorfismo de grupos de la homología reducida

Question

Este es un ejercicio de Hatcher Topología Algebraica libro: http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

Ejercicio 2.1.13, pg. 132: Compruebe que $f≃g$ implica $f_∗=g_∗$ por homomorphisms de la reducción de la homología de grupos.

La versión formal del ejercicio: Si $f,g :(X,A) \to (Y,B)$ son homotópica, a continuación, $f_* = g_*:H_n(X,A) \to H_n(Y,B)$.

Hay alguna brecha en la secuencia de la prueba?

Prueba: Por el Teorema 2.10, sabemos que si dos mapas de $f,g :X \to Y$ son homotópica, a continuación, inducen el mismo homomorphism $f_* = g_*:H_n(X) \to H_n(Y)$.

Así, el prisma operador $P:C_n(X) \to C_{n+1}(Y)$ satisfacción $\partial P +P \partial =g_\# - f_\#$ claramente envía $C_n(A)$ a $C_{n+1}(B)$.

Por lo tanto, $P$ da un natural prisma operador de cocientes, es decir, $\tilde{P}: C_n(X,A) \to C_{n+1}(Y,B)$ s.t. $\partial P +P \partial =g_\# - f_\#$.

Por lo tanto, $f_*=g_*: H_n(X,A) \to H_n(Y,B).$

Answer 1

Creo que este es un agradable y enfoque geométrico.

Lo siento, me dio un argumento para ver que homotopy equivalencias inducir el mismo mapa en la homología.

Voy a avisarle de un enfoque algebraico . Usted puede utilizar el tiempo de la secuencia exacta de una pareja y los cinco lema:

\begin{align*}&H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X,A) \to H_{n-1}(A) \to H_{n-1}(X)\\ &\\ &H_n(B) \to H_n(Y) \to H_n(Y,B) \to H_{n-1}(B) \to H_{n-1}(Y) \end{align*}

donde hay vertical de mapas de $f_*$, y ya sabemos que es una iso en todas partes excepto en el medio del mapa, por la 5-lexema es un isomorfismo.