Recientemente he descubierto el trabajo realizado por Hanson y Nair. Como he trabajado a través de Hanson de la prueba, de un argumento que se me ocurrió respecto de Legendre de la Conjetura.
Claramente, mi argumento es erróneo. Es demasiado simple no se han descubierto en el momento en que dichas pruebas han estado disponibles.
Les agradecería mucho si alguien me pudiera ayudar a entender dónde está mi razonamiento es incorrecto.
(1) Nair demostrado:
Para cualquier $n \in N^*$, tenemos: $$\text{lcm}({n\choose 1},2{n\choose 2},\dots,n{n\choose n})=\text{lcm}(1,2,\dots,n)$$
(2) por Lo que sigue:
$$\text{lcm}(1,2,\dots,(n^2+n)) > \left(\frac{n^2+n}{2}\right){{n^2+n}\choose{\frac{n^2+n}{2}}}$$
(3) es directa a mostrar para $n \ge 4$
$${{2n}\choose n} > \frac{4^n}{n}$$
(4) por Lo que sigue:
$$\text{lcm}(1,2,\dots,(n^2+n)) > \left(\frac{n^2+n}{2}\right)\frac{4^{n^2+n}}{n^2+n} = \frac{4^{n^2+n}}{2}$$
(5) Hanson demostrado:
Deje $B(n)$ denotar el mínimo común múltiplo de los números enteros $1,\dots,n$. Entonces $$B(n) < 3^n$$
(6) por Lo tanto, de la siguiente manera:
$$\text{lcm}(1,2,\dots,n^2) < 3^{n^2}$$
(7) Deje $R(x,y) = \dfrac{\text{lcm}(1,2,\dots,x)}{\text{lcm}(1,2,\dots,y)}$
(7) de Modo que:
$$R(n^2+n,n^2) > \frac{\frac{4^{n^2+n}}{2}}{3^{n^2}}=\frac{4^n}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^{n^2} > 4^n$$
(8) Suponga que no hay ningún prime entre $n^2$ e $n^2+n$.
(9) Así, el valor de $R(n^2+n,n^2)$ debe ser igual al producto de la relación de potencias de números primos $p^a$ tal que $n^2 < p^a \le n^2+n$.
Nota: digo "relativo", ya que para $a \ge 2$, $R(p^a,p^a-1) = p$
(10) Si $p$ es un primo tal que $n^2 < p^a \le (n^2+n)$, se deduce que el $p \le \lfloor\sqrt{n^2+n}\rfloor = n$
(11) Si $n^2 < p^a \le (n^2+n)$, a continuación, $p^{a+1} = p(p^a) > pn^2$
(12) es bien sabido que $\prod\limits_{p \le n} p < 4^n$ donde $p$ es un primo.
(13) de Modo que, $R(n^2+n,n^2) < 4^{\pi(n)}$ donde $\pi(n)$ es la primer función de conteo.
(14) es bien conocido por $n\ge8$ que $\pi(n) \le \frac{n}{2}$
(15) Pero, a continuación, tenemos una contradicción ya que:
$$R(n^2+n,n^2) \le 4^{n/2}$$
(16) por Lo tanto, rechazamos nuestra hipótesis de que no hay prime entre $n^2$ e $n^2+n$.
