Sea $$a_n = \frac{\left(1+\sqrt{4n^2+1}\right)^n+\left(1-\sqrt{4n^2+1}\right)^n}{2^n}=2^{1-n} \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2 k} \left(4 n^2+1\right)^k,$$ entonces tenemos $$a_1=1,\quad a_2=9,\quad a_3=28,\quad a_4=577,\quad a_5=3251,\quad a_6=105193,\quad...$$ ¿Cómo podemos demostrar que $a_n$ es un número entero para todo número entero positivo $n$ ?
Respuestas
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Daré dos enfoques: En cualquier caso, dejemos $$ b_{m,n}=\left(\dfrac{1+\sqrt{4m+1}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt{4m+1}}{2}\right)^n $$ así $a_n=b_{n^2,n}$ . Demostraremos $b_{m,n}\in\mathbb{Z}$ para todos $m,n\in\mathbb{Z}$ , $n\geqslant 0$ . En particular, obtenemos $a_n\in\mathbb{Z}$ .
Enfoque 1: Demostrar que $a_n$ es un entero algebraico racional
Las cifras $\dfrac{1\pm\sqrt{4m+1}}{2}$ son raíces de $x^2-x-m$ son enteros algebraicos. Por lo tanto $b_{m,n}$ es un número entero algebraico. Por otro lado, se sabe que $b_{m,n}$ es racional por expansión binómica. Así que $b_{m,n}\in\mathbb{Z}$ como $\mathbb{Z}$ es integralmente cerrado.
Enfoque 2: relación de recurrencia
Tenemos $b_{m,n}$ satisface una relación de recurrencia $$ b_{m,n+2}=b_{m,n+1}+mb_{m,n} $$ con $b_{m,0}=2$ y $b_{m,1}=1$ . Así que inductivamente $b_{m,n}\in\mathbb{Z}$ para todos $m,n\in\mathbb{Z}$ , $n\geqslant 0$ .
dan_fulea
Puntos
379
Fijar algún número entero $n$ y considerar los enteros algebraicos conjugados de Galois $s,t$ igual a $$ \frac 12\Big(\ 1\pm\sqrt{4n^2+1}\ \Big) $$ en el campo cuadrático apropiado sobre $\Bbb Q$ .
Son enteros algebraicos, porque tenemos $s+t=1$ , $st=\frac 14(1-(1+4n^2))\in\Bbb Z$ .
Fijar algún poder natural $k$ . Entonces el número $s^k+t^k$ también es un entero algebraico, se fija por la conjugación de Galois intercambiando $s\leftrightarrow t$ por lo que vive en $\Bbb Q$ .
Por lo tanto, es un número entero.
Consideremos ahora el caso especial $k=n$ .
