¿Es el lema de Yoneda una caracterización de isomorfismo?

Question

Que <span class="math-container">$C$</span> sea una categoría local pequeña. ¿Es cierto que <span class="math-container">$$ X \congC Y \iff C (A, X) \cong{\mathsf{Set}} C (A, Y) \iff C (X, A) \cong_{\mathsf{Set}} C (Y, A) $</span> donde asumimos el isomorfismo de dos últimos son naturales en <span class="math-container">$A$</span>?

Directa implicación es bastante obvio, y la inversa debe ser estándar (co) Yoneda.

¿Me estoy perdiendo algo sutil?

Answer 1

Creo que no hay nada sutil aquí (a excepción de Yoneda lema, por supuesto).

Una consecuencia de Yoneda lema es que la Yoneda incrustaciones $X \mapsto C(-, X), \; X \mapsto C(X, -)$ son totalmente fieles functors, y cualquier plenamente fiel functor "refleja y crea" (en el sentido de Ejercicio 1.5.vi de E. Riehl del libro "Categorías" en contexto") isomorphisms, que es el significado de el hacia atrás implicaciones.

(En el segundo pensamiento: Pedantically hablando, con el fin de justificar que el anterior functors son totalmente fieles, se necesita que los mapas en hom conjuntos de $C(X,Y) \rightarrow Nat(C(-,X), C(-,Y))$ procedente de la Yoneda incrustación functor de acuerdo con la bijections proporcionada por Yoneda lema, por lo tanto, en particular, ellos son bijective sí mismos. Por lo que se requiere de un cheque, es decir, uno no puede simplemente utilizar el Yoneda lema como una caja negra, que necesita de la forma concreta de la bijections de Yoneda lema. Pero es más bien un pedante nota.)