Valor de expectativa del conmutador en mecánica cuántica.

Question

Supongamos $A$ e $B$ son operadores, $A$ es Hermitian $B$ anti-hermitian, y su colector es la identidad, es decir, $$[A, B] = I \, .$$ Denotan los vectores propios de a$A$ como $\lvert a \rangle$, por lo que $A \lvert a \rangle = a \lvert a \rangle $, tenemos $$\langle a| [A, B] |a \rangle = \langle a | a \rangle \tag{1}$$ y $$ \langle a| (AB-BA) |a \rangle = a \langle a | B | a \rangle - a \langle a | B | a \rangle = 0 \, . \tag{2}$$

Entonces, ¿cuál es el problema?

Answer 1

Este es un muy bonito problema en la teoría de los operadores de Hilbert separables espacios. El truco para tener en cuenta es que su $|a\rangle$ no está en el dominio del colector, por lo tanto su ecuación 1) no tiene sentido. Más precisamente, tenemos el siguiente lema:

Lema Dejar que C sea el colector C(A, B, D(C)), en el sentido de que: $$\forall \phi \in D(C) \subseteq D(AB) \cap D(BA), (AB-BA)\phi = C\phi$$ Supongamos, además, que Una es selfadjoint con un no-vacía punto del espectro. Una condición necesaria para que los vectores propios de pertenecer a D(C) es que C mapas de cada uno de los vectores propios de a en su complemento ortogonal.

Prueba . Vamos a Aϕ = aϕ y ϕ ∈ D(C). Debido a que el autovalor una es real y porque $|\langle ϕ|Bϕ\rangle| < ∞$, tenemos la igualdad de $\langle ϕ|Cϕ\rangle = \langle ϕ|(AB − BA)ϕ\rangle = 0$. Que es $\langle ϕ|Cϕ\rangle = 0,$ o ϕ es ortogonal a Cϕ.

Supongamos ahora que $C = 1_{\mathcal{H}}$. A continuación, con el fin de tener el autovector $\phi$ en el dominio del colector, se sigue por el anterior lema que $\phi = 0$.

Answer 2

@Qmechanic respondió a su pregunta en los comentarios, pero, evidentemente, el mensaje no automáticamente fregadero. Permítanme ilustrar esto con la rutina de demostración que usted probablemente fueron expuestos a cuando el aprendizaje de los usos de la Dirac bra-ket de notación.

La respuesta corta es que el tracefulness de la identidad en la r.h.s. de su conmutador ecuación para un infinito dimensional espacio de Hilbert conduce a $\langle a | a\rangle \neq$1, porque es realmente singular. Por lo que su ecuación 1) es correcto, ya que la r.h.s. es infinito. Pero su ecuación 2) es errónea, puesto que la expresión implica un 0 multiplicando un fuerte infinito, que asciende hasta el infinito, de nuevo, como en 1).

Voy a ilustrar esto con $A=\hat x$ e $B=\hat p /\hbar$, como en el estándar de QM cursos. Absorber $\hbar$ en $\hat p$ hacer el formalismo más familiar.

A partir de la del operador estándar de la ecuación de $[\hat x ,\hat p]=i 1\!\!1 $, en primer lugar tomar su no-diagonal de elementos de la matriz, antes de la construcción hasta su 2), $$ \langle x|\sombrero x \hat - p \hat p \hat x|y\rangle = (x-y)\langle x|\sombrero p|y\rangle=(x-y)\int dp ~ \langle x| p\rangle \langle p| \sombrero p|y\rangle \\ =(x-y)\int dp ~ \langle x| p\rangle p \langle p |y\rangle \\ =\frac{ (x-y)}{2\pi}\int dp ~ p ~e^{i(x-y)p} =-i (x-y)\partial_x \delta (x-y) \\ =i \delta(x-y). $$ Como siempre, $\langle x| p\rangle=\exp(ixp) ~/\sqrt{2\pi}$. Comprobación de la última igualdad por la operación en un buen comportamiento de la función de prueba. Es trivialmente refleja la homogeneidad de grado -1, $\delta(\lambda x)=\delta(x)/\lambda$, para diferenciar esta por λ y establecer λ=1.

Es decir, la expresión diverge para $x\to y$, igual a 1). El punto crucial es que, como el prefactor (x-y) disminuye, el elemento de la matriz multiplicando diverge y más rápido.

Todos los elementos de la matriz de un colector está disponible, como el anterior, se puede reconstituir su operador original de ecuaciones de estos, por la inserción de las resoluciones de la identidad en cualquiera de los lados.