¿Es cierto que el número es divisible por $p$ ?

Question

Pregunta: Que $a, b, c$ sean enteros positivos y $p>3$ sea un primo ( $ a$ no es divisible por $p$ ). Consideremos un polinomio cuadrático $P(x) = ax^2+bx+c$ y se supone que existe $2 p-1$ enteros positivos consecutivos: $$x+1, x+2, ..., x+2p-1$$ que satisfaga que $P(x+i)$ es un número cuadrado para cada $i$ $(1 \leq i \leq 2p-1)$ . ¿Es cierto que el número $\Delta = b^2-4ac$ es divisible por $p$ ?

Descubrí que si existe $i$ en el que $1 \leq i \leq p-1$ para que $P(x+i)$ es divisible por $p$ entonces $\Delta$ es divisible no sólo por $p$ pero $p^2$ también.

Si $P(x+i)$ es divisible por $p$ entonces $p^2|P(x+i)$ y $p^2|P(x+i+p)$ Por lo tanto $$p^2|P(x+i+p)-P(x+i) \implies p^2|p(a(2x+2i+p)+b) \implies p|2a(x+i)+b$$ y como $4a\cdot P(x+i)=(2a(x+i)+b)^2-\Delta$ Así que $p^2|\Delta$ .

Sin embargo, no encuentro ninguna condición de $a, b, c, p$ para que exista $i$ en el que $1 \leq i \leq p-1$ y $p|P(x+i)$ . ¿Es correcta la pregunta o debe haber algunas condiciones de $a, b, c, p$ para que la pregunta sea cierta?

(Lo siento, el inglés es mi segunda lengua)

Answer 1

La respuesta es sí, y asumiré que estás familiarizado con la aritmética modular. Primero escribe $$(2a)^2P(k)=a((2ak+b)^2-(b^2-4ac)),$$ y observe que $2ak+b$ se extiende sobre todas las clases de residuos módulo $p$ como $k$ oscila entre $x+1$ a $x+2p-1$ porque $p$ no divide $a$ . De ello se desprende que $(2ak+b)^2$ abarca todos los residuos cuadráticos módulo $p$ .

Dado que $P(k)$ es un cuadrado para todo $k$ que van desde $x+1$ a $x+2p-1$ y que el mapa sobre las clases de residuos mod $p$ $$(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\ \longrightarrow\ (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}): n\ \longmapsto a(n-\Delta),$$ es biyectiva, de nuevo porque $p$ no divide $a$ vemos que este mapa se restringe a una biyección en los residuos cuadráticos módulo $p$ . En particular $P(k)\equiv0\pmod{p}$ para algunos $k\in\{x+1,\ldots,x+2p-1\}$ a partir de la cual su argumento funciona.

A partir de aquí, también se puede observar que hay más residuos cuadráticos que no cuadráticos. Dependiendo de si $a$ es un residuo cuadrático o no, el mapa $$(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\ \longrightarrow\ (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}): n\ \longmapsto n-\Delta,$$ mapea todos los residuos cuadráticos a residuos cuadráticos, o mapea todos los residuos cuadráticos a no-residuos cuadráticos. Como se trata de una biyección, esto último es imposible, por lo que $a$ es un residuo cuadrático. Además, si $\Delta\not\equiv0\pmod{p}$ entonces la aplicación repetida del mapa anterior implica que todo clases de residuo modulo $p$ son residuos cuadráticos, contradiciendo el hecho de que $p>3$ . Por lo tanto, $\Delta\equiv0\pmod{p}$ es decir $b^2-4ac$ es divisible por $p$ .

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Tenga en cuenta que para que este argumento funcione, basta con que sólo $p$ que existan enteros consecutivos tales que $P(x+1)$ a través de $P(x+p)$ son cuadrados. O incluso más débilmente, pero menos elegantemente, para $P$ para tomar un valor cuadrado al menos una vez en cada clase de residuo módulo $p$ .

Answer 2

Esto es sólo una cuestión de aritmética mod $p$ . Escribir $\bar n$ para $n$ mod $p$ El mod. de reducción $p$ del binomio dado da como resultado un $f(X)=\bar aX^2+\bar bX+\bar c \in \mathbf F_p [X]$ con $\bar a \neq \bar0$ . La hipótesis de la OP dice que $f(\bar x)$ es un cuadrado en $\mathbf F_p$ para $p$ valores distintos entre $\bar y$ y $\bar y + \bar p -\bar 1$ . Pero es bien sabido que $\mathbf F^*_p$ es cíclico, por lo que $(\mathbf F^*_p)^2$ tiene orden $\frac {p-1}2$ y el número de cuadrados distintos en $\mathbf F_p$ es exactamente $1+\frac {p-1}2 <p$ . En particular, se deduce que el mapa $\bar x \to f(\bar x)$ no puede ser inyectiva. Para $\bar x \neq \bar x' \in \mathbf F_p$ , $f(\bar x)=f(\bar x')$ si $\bar a (\bar x - \bar x')+\bar b=\bar 0$ si $\bar x + \bar x'=-\frac {\bar b} {\bar a}$ . Así, a partir de $\bar x \neq -\frac {\bar b} {2\bar a}$ el mapa $\bar x \to x'=-\bar x-\frac {\bar b} {\bar a}$ produce un par $(\bar x,\bar x'),\bar x \neq \bar x'$ , s.t. $f(\bar x)=f(\bar x') \in (\mathbf F^*_p)^2$ . Esto nos permite organizar $\mathbf F_p$ como la unión de $\frac {p-1}2$ pares $(\bar x,\bar x')$ como en el caso anterior y un singleton $\bar z$ s.t. $f(\bar z)=\bar 0$ Así que $\bar z$ es necesariamente un doble cero de $f$ es decir $p$ divide el discriminante $b^2-4ac$ .