Topología de secuencias

Question

Deje $X$ a un y $f:X\to\mathcal{P}(X^\omega)$. Bajo que circunstancias hay algunos topología $\tau$ a $X$ tal que $f$ se asigna a cada punto de $x$ para el conjunto de convergencia de las secuencias en $\tau$ con límite de $x$? Los mejores de la topología de la que da cuenta de todas las secuencias en $f$ es $$\tau:=\{A\subseteq X:\forall x\in A.\forall s\in f(x).\exists N\ge 0.\{s_n\}_{n\ge N}\subseteq A\}.$$ But how to make sure no new converging sequences emerge in $\tau$?

Hay una (abierto) barrio de la base de $\tau$ cuyos conjuntos de $A_x$ pueden ser construidos de la siguiente manera: Modificar $f$ mediante la sustitución de cualquier secuencia con una cola de sí mismo, llame al resultado $f'$. A continuación, define inductivamente $A_0:=\{x\}$, $A_{i+1}:=A_i\cup(\cup_{y\in A_i,n\ge 0}f'(y)_n)$ y tome $A_x=A_{f',x}:=\cup_{i\ge 0} A_i$. Dado que para la construcción de $f'$ solo se debe tomar en cuenta el $f'(y)$ para $y$ 'accesible' de $x$, que todos se sientan en un $\omega$ramificación de los árboles de la altura de la $\omega$, esta base es contable.

Así que una manera de asegurarse de $\tau$ no se da cuenta de nuevas secuencias es la demanda que para cualquier secuencia $s$ e $x\in X$ tal que para cualquier $f'$ como encima hay algunos de la cola de $s$ viven en $A_{f',x}$ debemos tener $s\in f(x)$.

Pero hay una forma más simple de poner esto?

Claramente, para $s\in f(x)$ y la secuencia de las $(k(n))_n$ de los números naturales que convergen a $\infty$ necesitamos $(s_{k(n)})_n$ a en $f(x)$, también se $f(x)$ debe contener la constante de $x$-secuencia y ser cerrado bajo la unión de un número finito de secuencias. Aún así, el caso es mucho más sutil que eso. Considere la posibilidad de $X=\mathbf{R}$ e $f(u)$ que contiene todas las secuencias de $(u\pm v2^{-n})_n$ para algunos $v\in[1,2)$ , además de su cierre bajo las construcciones que acabamos de mencionar. Esta $f$ produce la topología Euclidiana, pero obviamente no contiene todas las secuencias convergentes en el espacio Euclidiano y es realmente difícil de ver (para mí) si hay alguna simple, abstracta condición de que $f$ no cumple.

Una condición más de lo que podía pensar, lo cual es cierto siempre que $\tau$ es de primera contables, es que para $s\in f(x)$ e $(t^n)_n$ con $t^n\in f(s_n)$ existe una secuencia de números naturales $(k(n))_n$ tal que cualquier $s'$ con $s'_n\in\{t^n_m\}_{m\ge k(n)}$ debe estar contenido en $f(x)$.

Pero aquí de nuevo $X=\mathbf{R}$ con $f(u)$ que consta de todas las secuencias $s$ tal que $s_n\in u\pm(v-w_n,v+w_n)2^{-n}$ para algunos $v\in[1,2)$ e $w\in\mathbf{R}^\omega_{>0}$ convergentes a $0$, este cumple la condición anterior, pero no contiene todas las secuencias convergentes en el espacio Euclidiano, incluso si tomamos todos los cierres se discutió antes.

Answer 1

La más habitual manera de ir sobre estas cosas es lo que Fréchet ya lo hizo en 1906: definir un límite operador $\lambda$ que asigna a todas las secuencias de $X$ un conjunto de límites (puede haber más límites, si usted quiere ser general, y también, muchas de las secuencias de wil tiene el conjunto vacío asignado.) Así que, a continuación, considere la posibilidad de $\lambda: X^\omega \to \mathcal{P}(X)$ , y se debe obedecer a simple axiomas:

• Para todos los $x \in X$si $x_n = x$ para todos los $n$ entonces $x \in \lambda((x_n)_n)$. es decir, una constante de la secuencia de al menos converge a "su" constante.
• Para todas las secuencias de $(x_n)_n$ tenemos que $x \in \lambda((x_n)_n)$ entonces $x \in \lambda((x_{n_k})_k)$ para todas las subsecuencias de $(x_n)$.
• Si $(x_n)$ ¿ no convergen a $x$, hay algunos subsequence $(x_{n_k})_k$ de $(x_n)$ son tales que no subsequence de $(x_{n_k})_k$ converge a $x$.

Una sutil condición adicional es la siguiente:

$$\text{if } x \in \lambda((x_n))\text{ and } \forall n : x_n \in \lambda(x^{(n)}_k)_k), \exists i_1, i_2, i_3 , \ldots, j_1, j_2, j_3, j_4., \ldots \in \mathbb{N}: x \in \lambda(x^{(i_k)}_{j_k})_k)\tag{1}$$

que asegura que el cierre de la operación definida por el límite de operador ($x$ es en el cierre de $A$ fib alguna secuencia de $A$ converge a $x$) es topológico, y define una topología en la que la secuencia de convergencia es exactamente el que se da por $\lambda$.

Si sólo tenemos los 3 primeros axiomas, podemos ya definir una topología en $X$ diciendo que $C$ es cerrado cuando para todas las secuencias de $(x_n)$ de $C$, todos los límites de que la secuencia de la mentira en $C$. Esto es más débil y ya no garantuee que la convergencia de la nueva topología exactamente coincide con la dada "la convergencia de la regla". Engelking tiene algunos ejercicios sobre esto al final del capítulo 1, con referencias.

Por supuesto, usted puede generar todas las topologías de este modo, el secuencial o Fréchet-Urysohn.