¿Son productos de RVs cambiables cambiables?

Question

Se supone que <span class="math-container">$$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to ({0,1}^n, 2^{{{0,1}}^n})$$ and <span class="math-container">$$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to ({0,1}^n, 2^{{{0,1}}^n})$$</span>are two random Variables that have binary RVs as their components (Therefore <span class="math-container">$ X_i (\omega) \in\ {0, 1}, Y_i(\omega) \in {0,1}$</span>) and both (<span class="math-container">$X$</span> and <span class="math-container">$Y$</span>) are exchangeable, i.e. <span class="math-container">$$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., xn))= P((X{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$$</span></span>

y

<span class="math-container">$$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., yn))= P((Y{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$$</span> for all permutations <span class="math-container">$\sigma$</span>.

¿Mi pregunta es si tiene que <span class="math-container">$Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$</span> es intercambiable?

¿O enmarcadas diferentemente que suposiciones son necesarias para <span class="math-container">$Z$</span> a ser intercambiables?

Answer 1

El producto no tiene que ser intercambiables. El siguiente contraejemplo mostrará lo que puede ir mal y por qué.

Vamos a especificar el conjunto de las distribuciones de $P_1$ de $(X_1,Y_1)$ e $P_2$ de $(X_2,Y_2)$ y asumir cada uno de estos bivariante variables aleatorias son independientes. Por lo tanto, el $X_i$ serán canjeables siempre están idénticamente distribuidas, y de la misma manera por la $Y_i.$ Todas las variables de Bernoulli variables: por definición, sus probabilidades se concentran en el set $\{0,1\}.$

Deje $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ e $P_2(x,y)=1/4$ para $x,y\in\{0,1\}.$

Desde todas las distribuciones marginales son de Bernoulli$(1/2),$ marginal de la intercambiabilidad hipótesis sostiene. Pero ahora calcular que $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ e $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$ mostrando los productos tienen diferentes distribuciones (y por lo tanto no puede ser intercambiable).

Esto muestra que la distribución conjunta de los asuntos.

Sin embargo, las distribuciones conjuntas podrían diferir, sin embargo, que los productos podrían ser intercambiables, por lo que la intercambiabilidad de los bivariante variables aleatorias $(X_i,Y_i)$, aunque sea una condición suficiente para la intercambiabilidad de los productos $X_iY_i,$ no es una condición necesaria.

Un ejemplo de esto se da por ternario las variables con valores en $\{-1,0,1\}.$ Por ejemplo, considere las siguientes probabilidades:

$$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$$

y

$$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$$

Es sencillo comprobar que las distribuciones marginales de la $X_i$ asignar la igualdad de probabilidades de $1/2$ a $\pm 1,$ las distribuciones marginales de la $Y_i$ tienen probabilidad de vectores $(5/12, 1/6, 5/12),$ y que la distribución de la $X_iY_i$ es la misma que la de la $Y_i.$ tenga en cuenta que el $(X_i,Y_i)$ tienen diferentes distribuciones, sin embargo, debido a

$$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$$

Por lo tanto el $X_i$ son intercambiables, el $Y_i$ son intercambiables, el $X_iY_i$ son intercambiables, pero el $(X_i,Y_i)$ no son intercambiables.

Answer 2

No. Supongamos que el espacio muestral consta de tres igualmente probable outomes para que $X$ toma valores de $$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$$ y para que $Y$ toma valores de $$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$$ A continuación, $X_1,X_2,X_3$ son intercambiables y así se $Y_1,Y_2,Y_3$. Pero los valores correspondientes de $Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$son $$ (1,0,0),(0,0,0),(0,0,0) $$ así que, claramente, $Z_1,Z_2,Z_3$ no son intercambiables.