Una conjetura sobre las intersecciones de tres hipérboles relacionadas con cualquier triángulo

Question

Dado cualquier triángulo $\triangle ABC$ construimos la hipérbole con focos en $A$ y $B$ y pasando por $C$ .

Del mismo modo, podemos construir otras dos hipérboles, una con focos en $A$ y $C$ y pasando por $B$ (rojo), y uno con focos en $B$ y $C$ y pasando por $A$ (verde).

La primera parte de mi conjetura es que las tres hipérboles siempre se cruzan en dos puntos $D$ y $E$ .

Además, la elipse con focos en estos dos puntos $D$ y $E$ y que pasa por uno de los tres vértices del triángulo $\triangle ABC$ , pasan también por los otros dos vértices.

Estos resultados son probablemente obvios. Sin embargo, ¿existe una prueba elemental para estas conjeturas?

Gracias por su ayuda. Lo siento en caso de que esto sea demasiado trivial.

EDIT: Puede que te interese también este otro Correo electrónico: .

Answer 1

Segunda parte : Dejemos que $a=BC$ , $b = CA$ y $c =AB$ .

Tenemos $$EB-EC = DC-DB = c-b$$ $$\color{red}{EB-EA = DA-DB = a-b}$$ $$DA-DC = FC-FA =c-a$$

Si $$AD+AE = 2d$$ entonces desde $$BD+BE = (DA+b-a)+(EA+a-b)=2d$$

así que $B$ también se encuentra en esta elipse. Lo mismo ocurre con $C$ .

Answer 2

Prueba esto:

Sea E un punto de intersección de la hipérbole negra y roja. Entonces

hipérbole negra: $EA-EB=AC-CB$

hipérbole roja: $EA-EC=AB-BC$

Restando, se obtiene

$$EC-EB=AC-AB$$ por lo que la hipérbole verde también pasa por E.

Haz lo mismo para el punto D, diciendo que D es un punto de intersección de la hipérbole roja y verde, y obtendrás que la hipérbole negra también pasa por D.