¿Existe una integral definida no trivial que valga para $\frac{e}{\pi}$ ?

Question

Sé que ambos $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, \text{dx} = \frac{\pi}{e}$$ y $$\int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin(x)}{x^2+1} = \frac{\pi}{e}$$ Pero ¿qué pasa con $\frac{e}{\pi}$ ? ¿Existe una integral definida no trivial que evalúe a eso, pero aún así el integrando está compuesto por funciones elementales como las dos anteriores? La única restricción en el integrando es que es un función elemental . No es necesario que tenga una antiderivada elemental. Además, el valor de la integral no debería ser obvio a primera vista. Las integrales mencionadas anteriormente ciertamente no lo son, lo que hace que la respuesta sea tan bonita en mi opinión.

Por trivial me refiero a integrales como $\int_{-\infty}^1 \frac{e^x}{\pi} \, \text{d}x = \frac{e}{\pi}$ que obviamente converge al valor deseado.

Editar: Me han pedido que aclare mi pregunta porque es demasiado amplia. Las dos integrales mencionadas son, en mi opinión, bonitas porque ambas convergen a una fracción que contiene dos de esas constantes fundamentales, aunque a primera vista no sea nada evidente que deban hacerlo. Entonces, por curiosidad, me pregunté si existen integrales similares que converjan a $\frac{e}{\pi}$ . La respuesta que ha escrito @aleden es ciertamente interesante, pero parte de la magia desaparece cuando ambos $\pi$ y $e$ están en el integrando. He añadido algo más de información en los párrafos anteriores. Espero que esto haya aclarado un poco mi pregunta, pero es amplia por su naturaleza.

Answer 1

Por el Teorema de Frullani:

$$\frac{1}{f(0)-f(\infty)}\int_0^\infty \frac{f(e^{\pi} x)-f(e^e x)}{x}dx=\frac{e}{\pi}$$ para las funciones apropiadas $f(x)$ .

EDIT: Como alternativa, puede buscar una función $f(x)$ que satisface $\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{e}{\pi}$ como $f(x)=\frac{ex}{\pi x+1}$ y el uso:

$$\frac{1}{\ln(\frac{a}{b})}\int_0^\infty \frac{eax(\pi bx+1)-ebx(\pi ax+1)}{x(\pi ax+1)(\pi bx+1)}dx=\frac{e}{\pi}$$

Answer 2

Como petición, aquí hay algunas integrales no triviales que contienen $\pi$ en el denominador: $$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)\tanh(2x)}{x^2}=\frac{8 G}{\pi}$$ $$\int_0^1 \frac{1}{\arctan^2\left(\frac{1+2x-x^2}{1-2x-x^2}\right)}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{2}{\pi}$$ $$\int_0^1 \frac{x} {1-x} \ln \left(\frac{x} {1 - x} \right) \ln\left(\frac{1 +x-x^2} {x} \right) dx=\frac{\delta_s \zeta(3)}{\pi}$$ Dónde $G$ es la constante de Catalan y $\delta_s $ es la proporción de plata. Tal vez valga la pena mencionar ésta, debida a Cornel Ioan Valean: $$\int_0^1 \left(8 \frac{x^{5/4}-x^{1/4}}{\ln^3 x}-\frac{3x^{3/4}-x^{1/4}+2}{\ln^2 x}\right)\frac{\ln(1-x)}{x}dx=\gamma -2 \frac{G}{\pi}-\ln\left(\frac{8e^2}{27\pi}\right)$$