Barrios tubulares de fijación de colectores y fibrados vectoriales

Question

en esta pregunta acerca de la característica de las clases se contesta a esto:

Si tu espacio es un colector, sabiendo que el vector haces más que espacio cantidades a conocer todos sus tubular barrios cuando incrustar el espacio en otro colector. Con frecuencia, esto permite encontrar muchas relaciones entre los dos colectores.

Uno de los clásicos de la aplicación sería la prueba de que todo liso incrustaciones $S^n \to S^{n+2}$ (co-dimensión dos incrustación de una esfera en un de la esfera) tiene un Seifert superficie, lo que significa que no es un integrado, orientable $n+1$-colector $M \to S^{n+2}$ cuyo límite es el $n$-esfera. Uno de los pasos principales es mostrar que el $n$-esfera $S^{n+2}$ tiene un trivial tubular barrio.

Puedo pedir algunas referencias donde puedo mirar esto más de cerca. Para ser concretos, quiero más de referencia para:

• sabiendo que el vector haces más que espacio cantidades a conocer todos sus tubular barrios al incrustar el espacio en otro colector de

Creo que los tubos de los barrios son siempre vector de paquetes (por lo menos están con la definición de Bott Tu). Pero no sé si todos los vectores paquete puede ser visto como un tubular barrio de algunos submanifold?

• Las relaciones entre los dos colectores dada por el tubular barrios y la relación con el tubular barrios.

• Uno de los clásicos de la aplicación sería la prueba de que todo liso incrustaciones $S^n \to S^{n+2}$ tiene un Seifert superficie, lo que significa que no es un integrado, orientable $n+1$-colector $M \to S^{n+2}$ cuyo límite es el $n$-esfera.

• Uno de los pasos principales es mostrar que el $n$-esfera en $S^{n+2}$ tiene un trivial tubular barrio.

Cualquier ayuda se agradece.

Por cierto, he mirado en:

• Lee, Introducción a la Suave Colectores, 2do. ed.
• Bott y Tu, formas Diferenciales en Topología Algebraica
• Tu, Introducción a los Colectores, 2ª ed.

Estoy mirando:

• Hirsch, Topología Diferencial

pero no he encontrado lo que estaba buscando.

Answer 1

Tautologically cada vector paquete puede ser realizado como un tubular de barrio (en algunos colector). Es decir, si $V \to M$ es un vector paquete, la inclusión $M\to V$ proveniente de la 0-sección da la normal paquete de $M$ (algo isomorfo a) $V$.

Si la temperatura del colector es fijo (por ejemplo, si usted quiere saber lo que el vector de paquetes son tubulares barrios son para $M \to \Bbb R^n$) el problema se vuelve mucho más sutil. Como la tangente paquete de $\Bbb R^n$ es trivial, tenemos $T\Bbb R^n$ restringido a$M$$TM \oplus \nu$, por lo que para $\nu$ surgir como un paquete normal para una incrustación de objetos (o una inmersión incluso) $\nu$ debe convertirse trivial después de sumar con $TM$. Esta no es la única suposición, pero puede ser un largo camino.

Me voy a dar una forma de ver todas las incrustación $S^n \to \Bbb R^{n+2}$ está "enmarcado" (el normal paquete es trivial) por $n\ne 2$. De hecho, te voy a mostrar que cada 2-dim paquete de más de $S^n$ es trivial. Lectura adicional se puede encontrar en Milnor-Stasheff y, probablemente, y en cualquier regulares de la topología algebraica libro para completar los detalles.

Una cosa muy agradable de isomorfismo clases de n-dimensiones reales del vector de paquetes de más de $M$ es que ellos están en un bijection a la homotopy clase de un mapa de $M \to BO(k)$. Aquí $BO(n)$ se llama la classifing espacio de la ortogonales grupo, y puede ser descompuesto en un límite de $Gr(k,n)$ (el espacio de k-planos en $\Bbb R^n$).

El hecho de que nuestro mapa proviene de una incrustación $S^n \to \Bbb R^{n+2}$ nos dice que nuestro mapa de clasificación de los factores a través de la inclusión $Gr(n,n+2) \to BO(2)$. Así obtenemos un mapa de $f:S^n \to Gr(n,n+2)$, y vamos a demostrar que cualquier mapa es nullhomotopic.

Ahora $O(n)$ fibras de más de $Gr(k,n)$ con fibra de $O(k)\times O(n-k)$. El largo de la secuencia exacta para un fibration da $\pi_n(O(n)\times O(2)) \to \pi_n(O(n+2)) \to \pi_n(Gr(n,n+2)) \to \pi_{n-1}(O(n) \times O(2))\to\pi_{n-1}(O(n+2))$, y otro largo de la secuencia exacta argumento (la proposición 2.2 aquí https://ncatlab.org/nlab/show/orthogonal+grupo) implica que la primera y la última flechas son surjective, por lo $\pi_n(Gr(n,n+2)$$0$.