Creo que la opción correcta es la (2) y sólo (2).
Yo la razón de la siguiente manera:
Para $f(t) \in C(\Bbb R, \Bbb R)$, considere la función
$F_f: \Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R, \; F_f(y, t) = yf(t); \tag 1$
a continuación, $F_f(y, t)$ es (un.) conjuntamente continua en $y$ e $t$, y (b.) (localmente en $t$) Lipschitz continua en $y$.
A ver (.), tenga en cuenta que $F_f(y, t) = yf(t)$ es el producto de las dos funciones continuas $y: \Bbb R \to \Bbb R$ e $f: \Bbb R \to \Bbb R$, y que la multiplicación es la misma continua de $\Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R$.
Como para (b.), tenemos, por $y, z, t \in \Bbb R$,
$\vert F(z, t) - F(y, t) \vert = \vert zf(t) - yf(t) \vert = \vert(z - y)f(t) \vert = \vert z - y \vert \vert f(t) \vert; \tag 2$
ahora desde $f: \Bbb R \to \Bbb R$ es continua en cualquier intervalo cerrado $I_{t_0}$ sobre cualquier $t_0 \in \Bbb R$, $f(t)$ es limitada; por lo tanto, hay un barrio $J_{t_0} \subset I_{t_0}$ de $t_0$ y una constante de $L_J > 0$ tales que
$\vert f(t) \vert < L_J, \; t \in J_{t_0}; \tag 3$
así, por $z, y \in \Bbb R$ e $t \in J$ hemos
$\vert F(z, t) - F(y, t) \vert < L_J \vert z - y \vert, \tag 4$
lo que muestra que $F(y, t)$ es Lipschitz continua en un intervalo $J_{t_0}$ contiene $t_0$; por lo tanto, por la Picard-Lindeloef teorema de la que existe una única solución a la ecuación diferencial
$\dot y = F(y, t) = f(t)y, \; y(t_0) = y_0, \tag 5$
en algunos intervalo de $(t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon)$ contiene $t_0$; además, dado que esto es cierto para cualquier $t_0$, curvas integrales pueden ser extendidos al máximo a todos los de $\Bbb R$ y por lo tanto vemos que no existe una única, solución global pasar por ninguna de las $(y_0, t_0) \in \Bbb R \times \Bbb R$; ya que esto es cierto para cualquier $f(t) \in C(\Bbb R, \Bbb R)$, podemos descartar posibilidades (1) y (3) en nuestro OP Tartamudo Matemático de la lista. Del mismo modo, se puede eliminar el elemento (4) de consideración ya que, como hemos visto, hay una solución para cada $f$ en un intervalo acerca de cualquier $t_0$, $t_0 = 0$ incluido.
Así, (2) es verdadera y única (2) es verdadera.
La particular forma simple de $F(y, t) = f(t)y$ , de hecho, hace que sea posible para verificar los resultados anteriores en una forma inmediata, de manera práctica, sin recurrir a la theoretial argumentos presentados anteriormente, de hecho, si
$y(t_0) = y_0 \ne 0 \tag 6$
para algunos $t_0 \in \Bbb R$, a continuación, en un barrio de $t_0$ hemos
$\dfrac{\dot y(t)}{y(t)} = f(t), \tag 7$
de dónde
$\dfrac{d\ln y(t)}{dt} = f(t), \tag 8$
así que
$\ln \left (\dfrac{y(t)}{y(t_0)} \right ) = \ln y(t) - \ln y(t_0) = \displaystyle \int_{t_0}^t \dfrac{d\ln y(s)}{ds} \; ds = \int_{t_0}^t f(s) \; ds, \tag 9$
y así
$y(t) = y(t_0) \exp \left (\displaystyle \int_{t_0}^t f(s) \; ds \right ). \tag{10}$
La solución de (10) se ve fácilmente para que sea válida, única, y extender a todos los $\Bbb R$, y se une siempre como $y(t_0) \ne 0$ para algunos $t_0 \in \Bbb R$; la única otra alternativa es $y(t) = 0$ todas partes, que también es visto como una única solución global.
Por último, si elegimos con nuestros OP
$y(0) = 1, \tag{11}$
nos encontramos con que la única solución global a ser
$y(t) = \exp \left ( \displaystyle \int_0^t f(s) \; ds \right ), \tag{12}$
en concordancia con nuestros cálculos anteriores.
