Funciones de valor propio complejo de ecuaciones diferenciales

Question

Demostrar que una función de la forma $x(t) = K_1 cos\beta t + K_2 sin\beta t$

Puede ser escrito como $x(t) = Kcos(Bt-\phi)$

Donde $K = \sqrt (K_1^2 + K_2^2)$

Sé que los sistemas lineales con coeficientes complejos a veces se expresan en esta forma, sin embargo no estoy seguro cómo if que sería útil para resolver este problema. Cualquier sugerencia sobre cómo enfocar esto sería muy apreciada.

Answer 1

$$x(t) = K\left( \frac{K_1}{K}\cos(\beta t) + \frac{K_2}{K}\sin(\beta t) \right) $ $ Desde $K \geq K_1, K_2$ obtenemos $\frac{K_1}{K}, \frac{K_2}{K} \leq 1$ y desde $\left(\frac{K_1}{K}\right)^2 +\left(\frac{K_2}{K}\right)^2 =1$ puedo elegir un ángulo $\phi$ tal que $\cos(\phi) = \frac{K_1}{K}$ y $\sin(\phi)= \frac{K_2}{K}$. Entonces %#% $ de #% donde la última igualdad se sostiene por la fórmula resta de coseno.