para$f$ continuo, si$\lim_{x \to \infty} f(x+1)-f(x) = 0$ entonces$\lim_{x\to \infty}f(x)/x = 0$ (usando secuencias)

Question

La pregunta es: para que una función continua $f : \mathbb R \to \mathbb R,$ si $\lim_{x \to \infty} f(x+1)-f(x) = 0,$ probar $\lim_{x\to \infty}f(x)/x = 0$.

Ahora yo era capaz de hacerlo usando solo la continuidad y límite infinito definiciones, pero la pregunta es para el uso de las secuencias de $a_n = \inf\limits_{[n,n+1]} f$ e $ b_n = \sup\limits_{[n,n+1]} f.$

Creo que el resultado va a seguir si puedo mostrar a $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} - a_n = 0,$ y de manera similar para $b_n$, y a continuación, utilizando una Cesaro suma relacionadas con el resultado (porque la primera parte del problema es mostrar $a_{n}/n \to l$ si $a_{n+1} - a_n \to l$ ), pero estoy completamente atascado resultando este último límite.

Edit: Gracias por la ayuda. Mientras que los vinculados respuesta resuelve la pregunta en un sentido más amplio, no use la secuencia el problema específico pide a utilizar (esta pregunta es en un capítulo acerca de las secuencias, así que tengo que encajar aquí de alguna manera).

Ahora creo que he resuelto el problema. Utilizando la $b_n,$ por cada $n \in \mathbb N,$ hay un $x_n \in [n,n+1]$ tal que $b_n - 1/n < f(x_n)$ (definición de sup con $\epsilon = 1/n$) y también se $f(x_{n} +1) \leq b_{n+1},$ y similar a las desigualdades de $b_{n+1}.$ Con esto, $$f(x_n +1) - f(x_n) -\tfrac{1}{n} < b_{n+1} - b_{n} < f(x_{n+1}) - f(x_{n+1} -1) +\tfrac{1}{n+1} $$ por lo $b_{n+1} - b_n \to 0,$ y de manera similar a $a_{n+1} - a_n \to 0.$ corolario de Stolz-Cesaro implica $a_n/n , b_n/n \to 0,$ y, en particular, $\frac{a_n}{n+1} \to 0 $ e $\frac{b_n}{n+1} \to 0$ por lo Tanto, dado $\epsilon> 0 ,$ hay un $N \in \mathbb N$ lo suficientemente grande tal que para $n > N,$ $|a_n/n| < \epsilon,$ $|b_n/n| < \epsilon,$ $|\frac{a_n}{n+1}| < \epsilon$ e $|\frac{b_n}{n+1}| < \epsilon.$ Así que para $x > N,$ $x \in [n,n+1]$ naturales $n > N$ y tenemos, si $f(x)\geq 0,$ $b_n \geq 0$ y
$$ -\epsilon < \frac{a_n}{n+1}\leq \frac{f(x)}{x} \leq \frac{b_n}{n}< \epsilon,$$ y si $f(x) \leq 0,$ $a_n \leq 0,$ y utilizamos el mismo razonamiento como el anterior. En cualquier caso, $|f(x)/x| < \epsilon$ si $x > N.$

Answer 1

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua. Supongamos que $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x+1)-f(x)=0$, a continuación, $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=0$.

Prueba: Supongamos $\varepsilon>0$. Entonces existe $X_{0}>0$ tales que $|f(x+1)-f(x)|<\varepsilon$ siempre $x\geq X_{0}$. Por triangular la desigualdad, por cualquier $x\in[X_{0},X_{0}+1)$, $k\in\mathbb{N}$, se ha $|f(x+k)-f(x)|<k\varepsilon$. Deje $M=\sup_{x\in[X_{0},X_{0}+1]}|f(x)|$. Por la continuidad de $f$ y la compacidad de $[X_{0},X_{0}+1]$, $M<\infty$. Elija $Y_{0}>X_{0}$ tal que $\frac{M}{Y_{0}}<\varepsilon$.

Para cada una de las $y\in(Y_{0},\infty)$, existen exclusivamente $x\in[X_{0},X_{0}+1)$ y $k\in\mathbb{N}\cup{\{0\}}$ tal que $y=x+k$. Ahora \begin{eqnarray*} \left|\frac{f(y)}{y}\right| & \leq & \left|\frac{f(y)-f(x)}{y}\right|+\left|\frac{f(x)}{y}\right|\\ & \leq & \frac{k\varepsilon}{y}+\frac{M}{Y_{0}}\\ & \leq & \varepsilon+\varepsilon\\ & = & 2\varepsilon. \end{eqnarray*} Esto demuestra que $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=0$.

Tenga en cuenta que la anterior prueba sigue siendo válido incluso $f$ no es continua, siempre que existen suficientemente grande $a$ e $b$, $a<b$ e $b-a\geq1$ tal que $\sup_{x\in[a,b)}|f(x)|<\infty.$