Prueba de inducción de una serie

Question

Supongamos que tenemos la serie $$f(n) = \sum_{i=1}^n \frac{2i-1}{i^4 - 2 i^3 + 3 i^2 - 2 i + 2}.$$ Como pista se dijo que esta serie "telescopia". He observado que el patrón es $f(n)=\frac{n^2}{n^2 +1}$ . Quiero demostrarlo por inducción. El caso base se mantiene, ya que $f(1)=\frac{1}{2}$ que se desprende tanto de la definición de $f(n)$ y mi fórmula propuesta. Ahora quiero demostrar que para alguna arbitraria $k$ asumimos $f(k)=\frac{k^2}{k^2+1}$ Entonces quiero demostrar que $f(k+1)=\frac{(k+1)^2}{(k+1)^2+1} (=\frac{k^2 +2k +1}{k^2 +2k +2})$ .

Quería empezar señalando: $$f(k+1) = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{2i-1}{i^4 - 2 i^3 + 3 i^2 - 2 i + 2}= \\f (k)+ \frac{2(k+1)-1}{(k+1)^4 - 2 (k+1)^3 + 3 (k+1)^2 - 2 (k+1) + 2}$$ Esto finalmente se simplifica a $$ f(n+1)= \frac{k^2}{k^2 +1} + \frac{2k+1}{k^4 +2k^3+3k^2+2k+2}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{i^2}{i^2+1}-\frac{(i-1)^2}{(i-1)^2+1}=\frac{2i-1}{i_4-2i^3+3i^2-2i+2}$$ y que por lo tanto \begin{align}\sum_{i=1}^n\frac{2i-1}{i^4-2i^3+3i^2-2i+2}&=\sum_{i=1}^n\frac{i^2}{i^2+1}-\frac{(i-1)^2}{(i-1)^2+1}\\&=\frac{n^2}{n^2+1}-\frac{0^2}{0^2+1}\\&=\frac{n^2}{n^2+1}.\end{align}

Answer 2

Para completar, quiero terminar mi propia demostración, sin telescopios y simplemente por inducción como pretendía:

Ahora fíjate en eso: $$(k^2+1) (k^2 +2k +2) =k^4 +2k^3 +3k^2+2k +2$$

Por lo tanto, podemos escribir: $$f(k+1)=\frac{k^2}{k^2 +1}+ \frac{2k+1}{(k^2+1)(k^2+2k+2)} = \\ \frac{k^2 (k^2+2k+2)+ (2k+1)}{(k^2+1)(k^2+2k+2)}=\frac{k^4+2k^3+2k^2+2k+1}{(k^2+1)(k^2+2k+2)}$$

Por último, observa que: $$(k^2+1)(k^2+2k+1)=k^4+2k^3+2k^2+2k+1 $$

Tal que podemos escribir:

$$ f(k+1)=\frac{(k^2+1)(k^2+2k+1)}{(k^2+1)(k^2+2k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{k^2+2k+2}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)^2+1}$$

Si la fórmula es válida para un k arbitrario, también lo es para $k+1$ por el principio de inducción matemática, es válida para todos los $n$ $\square$ .