Localización de una categoría en diferentes categorías de fondo

Question

Fijar $\mathscr U$ ， $\mathscr V$ como dos universos tales que $\mathscr U\in\mathscr V$ . Dejemos que $\mathsf{CAT}$ denotan la categoría de categorías $\mathcal C$ tal que $\text{ob }\mathcal C\in\mathscr V$ y $\text{Mor }\mathcal C\in\mathscr V$ (es decir, $\mathscr V$ -categorías pequeñas), y dejemos que $\mathsf{Cat}$ denotan la categoría de categorías $\mathcal C$ tal que $\text{ob }\mathcal C\in\mathscr V$ y para cada par de objetos $a$ , $b$ en $\mathcal C$ , $\hom(a,b)\in\mathscr U$ (es decir, $\mathscr V$ -pequeña y localmente $\mathscr U$ -categorías pequeñas).

Dada una categoría $\mathcal C\in\mathsf{Cat}$ y un subconjunto $\Sigma$ de $\text{Mor }\mathcal C$ . Es un hecho conocido que la localización de $\mathcal C$ con respecto a $\Sigma$ existe en $\mathsf{CAT}$ y lo denotamos por $\mathcal C[\Sigma^{-1}]$ . Mi pregunta es:

Supongamos que la localización de $\mathcal C$ con respecto a $\Sigma$ existe en $\mathsf{Cat}$ ¿podemos deducir que $\mathcal C[\Sigma^{-1}]$ se encuentra en $\mathsf{Cat}$ y es, en consecuencia, la localización de $\mathcal C$ en $\mathsf{Cat}$ ?

Answer 1

Una respuesta con la conclusión contraria a mi anterior respuesta (incorrecta, y ahora borrada). Esperemos que esta sea un poco más correcta.

Supongo que por "un subconjunto $\Sigma$ de $\text{Mor } \mathcal{C}$ "no se pretende que $\Sigma$ debe ser $\mathscr U$ -¿Pequeño? Por lo demás, creo que está claro que $\mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$ es $\mathscr U$ -pequeño.

Dejemos que $\{G_\alpha\}$ sea una familia de grupos simples indexados por cardinales $\alpha$ en el universo $\mathscr U$ , de tal manera que $G_\alpha\leq G_\beta$ cuando $\alpha\leq\beta$ y tal que la cardinalidad de $G_\alpha$ es al menos $\alpha$ . Por ejemplo, tome $G_\alpha=\text{PSL}_2\left(\mathbb{Q}(X_\alpha)\right)$ donde $\mathbb{Q}(X_\alpha)$ es el campo de las funciones racionales en un conjunto $X_\alpha$ de cardinalidad $\alpha$ con los conjuntos $X_\alpha$ anidado.

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea la categoría con un objeto $c_\alpha$ para cada cardenal $\alpha$ , donde $\hom(c_\alpha,c_\beta)=G_\beta$ para $\alpha\leq\beta$ y $\hom(c_\alpha,c_\beta)=\emptyset$ para $\alpha>\beta$ con la composición obvia dada por la multiplicación en los grupos $G_\alpha$ .

Dejemos que $\Sigma$ sea la colección de todos los morfismos.

Entonces, si $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ es un functor que invierte $\Sigma$ , un objeto $d$ en la imagen tiene acciones compatibles de $G_\alpha$ por cada $\alpha$ . Si $\mathcal{D}$ es localmente $\mathscr U$ -pequeño, esto significa la acción de $G_\alpha$ debe ser trivial para $\alpha$ mayor que la cardinalidad de $\hom(d,d)$ ya que $G_\alpha$ es simple, y por lo tanto para todo $\alpha$ .

Así que la localización en $\mathsf{Cat}$ existe, siendo la categoría con precisamente un morfismo $c_\alpha\to c_\beta$ por cada $\alpha,\beta$ .

Pero en la localización en $\mathsf{CAT}$ el conjunto de endomorfismos de cada objeto es $\bigcup_\alpha G_\alpha$ .