¿Por qué el tensor de Riemann rebajado sólo tiene 20 componentes independientes para la métrica de Schwarzschild?

Question

He visto bastante en Internet sobre cómo sólo hay 20 componentes independientes para el tensor de Riemann (rebajado) $R_{abcd}$ para la métrica de Schwarzschild. Me han dicho que esto se deduce de las simetrías del tensor, es decir:

$R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}=R_{badc}$ y $R_{abcd}=R_{cdab}$

Ahora bien, si los índices del tensor pueden ir todos de 1 a 4, entonces $R_{abcd}$ tiene 256 componentes. Estas simetrías parecen reducir nuestra necesidad de calcular componentes, pero ¿por qué sólo 20?

Nota: Soy consciente de que hay algunas preguntas similares en el intercambio de pilas. Las he leído, pero ninguna de ellas explicaba con claridad este punto concreto, así que he decidido preguntarlo directamente para, con un poco de suerte, hacerme una idea.

Answer 1

El comentario de FrodCube apunta a la ecuación (3.85) de Lecture Notes on General Relativity de Sean M. Carroll de diciembre de 1997, que cuando se evalúa para n=4 da 20.

Para los que no quieren abrir el enlace/no existe/quieren verlo rápidamente, mi respuesta es para ellos.

Tenga en cuenta en primer lugar que $^nC_{k}$ viene dado por ( https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient ),

$$\begin{equation} ^nC_{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{equation}$$

El número de componentes independientes del tensor de Riemann ( $IRC$ ) en $d$ dimensiones espacio-tiempo es simplemente,

$$\begin{equation} IRC = \frac{~^dC_{2} (^dC_{2} + 1)}{2} - ~^dC_{4} \end{equation}$$

Answer 2

Sólo para resumir el cálculo que ha mencionado FrodCube, $R_{abcd}\ne 0$ sólo cuando $a\ne b$ y $c\ne d$ . En $n$ -en el espaciotiempo hay $\binom{\binom{n}{2}+1}{2}$ formas de elegir las parejas $ab,\,cd$ (se permite que sean iguales, de ahí el $+1$ ). Entonces perdemos $\binom{n}{4}$ grados de libertad a la primera identidad de Bianchi $R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0$ . Un poco de álgebra dice que deja $\frac{1}{6}\binom{n^2}{2}$ DOF, que para $n=4$ es $20$ según sea necesario.