Distancia media a un punto aleatorio de un rectángulo desde un punto arbitrario

Question

Me interesa la distancia media entre un punto 2D arbitrario, $(p, q)$ y un punto distribuido uniformemente dentro de un rectángulo definido por los vértices inferior izquierdo y superior derecho $(x_0, y_0)$ y $(x_1, y_1)$ respectivamente. No hay ninguna restricción de que $(p,q)$ necesita estar dentro del rectángulo.

Me imagino que la solución viene dada por

$$ \int\limits_{y_0}^{y_1}\int\limits_{x_0}^{x_1} \left[(x-p)^2 + (y-q)^2 \right]^{1/2} \text{d}x\text{d}y, $$

que mis conocimientos básicos de cálculo me impiden abordar de otra manera que no sea numéricamente. No espero una solución analítica cerrada (¡aunque sería genial!), pero ¿hay algún truco que pueda ayudar a aproximarla? Y más en general, ¿tiene este tipo de integral algún nombre que me ayude a buscar métodos asociados a su solución?

También se conforma con la suposición de que $(p,q)$ se encuentra fuera del rectángulo.

Gracias a todos.

Answer 1

En principio, la integral no es demasiado difícil utilizando coordenadas polares. Lo haré todo por $x_0=-x_1 ,y_0 =- y_1$ y $p=q=0$ para simplificar un poco la notación. Entonces no tenemos que desplazarnos y toda el área viene dada por $4$ veces la integral sobre el primer cuadrante. Dividimos la integral restante en dos regiones.

1.) El triángulo con vértices $\{0,0\} ,\{x_1,0\},\{x_1,y_1\}$ . Aquí el límite superior de $r$ va de $x_1$ a $r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ lo que significa que $r\in [0,\frac{x_1}{\cos(\phi)}]$ . El valor de $\phi$ está entre $0$ y $\phi_1=\arctan(y_1/x_1)$

2.) El triángulo con vértices $\{0,0\} ,\{0,y_1\},\{x_1,y_1\}$ . Aquí el límite superior de $r$ va de $y_1$ a $r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ lo que significa que $r\in [0,\frac{y_1}{\sin(\phi)}]$ . El valor de $\phi$ está entre $\phi_1=\arctan(y_1/x_1)$ y $\pi/2$

Lo conseguimos: $$ \int_{-y_1}^{y_1}\int_{-x_1}^{x_1} dx dy\sqrt{x^2+y^2}=4\int_{0}^{y_1}\int_{0}^{x_1} dx dy\sqrt{x^2+y^2}=\\ 4\int_{0}^{\phi_1}d\phi\int_{0}^{x_1/\cos(\phi_1)}dr r^2+4\int_{\phi_1}^{\pi/2}d\phi\int_{0}^{y_1/\sin(\phi_1)}dr r^2=\\ \frac{4}{3}x_1^3\int_{0}^{\phi_1}d\phi \left(\frac{1}{\cos(\phi)}\right)^3+\frac{4}{3}y_1^3\int_{\phi_1}^{\pi/2}d\phi\left(\frac{1}{\sin(\phi)}\right)^3 $$

El resto de las integrales se pueden hacer por medio de IBP y las sustituciones $y=\arccos{\phi}$ , $y=\arcsin{\phi}$ respectivamente.

El resultado al final se puede simplificar un poco pero sigue pareciendo muy desordenado, así que me lo ahorro aquí. Pero al final se obtiene una forma cerrada :)

¿Puedes llevarlo desde aquí?