Si los caracteres de Brauer son $\bar{\mathbb{Q}}$-linealmente independientes, ¿por qué $\mathbb{C}$-linealmente independiente?

Question

Si Brauer caracteres $\bar{\mathbb{Q}}$-linealmente independientes, ¿por qué lo $\mathbb{C}$-linealmente independientes?

Creo que este es un álgebra lineal hecho aparecen cuando se acredite la irreductible Brauer caracteres en un número finito de grupo son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$. La prueba la he visto observa que los personajes toman valores en el anillo de enteros algebraicos, y luego la prueba independencia lineal sobre $\bar{\mathbb{Q}}$.

¿Por qué es suficiente sólo de verificación independencia lineal sobre $\bar{\mathbb{Q}}$? Parece que algo podría ir mal cuando se extiende el campo de todo el camino hasta el $\mathbb{C}$.

La prueba de que estoy leyendo es el Teorema de 15.5 en Isaacs' Carácter de la Teoría de Grupos Finitos.

Answer 1

Si $E/F$ es una extensión de campo, tenemos $F^n\subset E^n$, y si un subconjunto de a $F^n$ $F$- linealmente independientes, entonces también es $E$-linealmente independientes. Un bonito, super fácil manera de ver: extender el subconjunto a de base para $F^n$. Forman la matriz cuyas columnas son los elementos de esta base. Su determinante es distinto de cero. Pero esto muestra que las columnas forman una base para $E^n$ desde el determinante tiene la misma fórmula sin importar el campo en el que trabajo.

El espacio de funciones de clase de un grupo finito puede ser identificado con $F^n$ en una manera obvia ($n$= número de clases conjugacy).

Answer 2

Hecho. La extensión de escalares conserva independencia lineal. Es decir, si $X$ $k$- subconjunto linealmente independiente de una $k$-espacio vectorial $V$, e $K/k$ es cualquier extensión de campo, entonces también será un $K$-subconjunto linealmente independiente de la $K$-espacio vectorial $K\otimes_k V$ (donde se identifican $x$$1\otimes x$).

Prueba. Escribir $K=\bigoplus_{t\in T}kt$ como espacios vectoriales para algunos $k$base $T$$K$. Entonces si $\sum c_i x_i=0$ algunos $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$ y escalares $c_1,c_2,\cdots,c_n\in K$, podemos escribir $c_i=\sum_{t\in T} c_{i,t}t$ para algunos restringido escalares $c_{i,t}\in k$, en cuyo caso la relación se convierte en $\sum_i c_{i,t}x_i=0$ todos los $t$, pero esto implica que cada una de las $c_{i,t}=0$ y por lo tanto todos los $c_i=0$.

Se aplica aquí con $V$ el espacio vectorial de las funciones se extendieron por los personajes y $\mathbb{C}/\overline{\mathbb{Q}}$.