una duda con la serie $ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx} $

Question

Sé que la serie es igual a

$$ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}= \frac{1}{1-e^{-x}}$$

Sin embargo, si expando cada término exponencial en una serie de Taylor obtengo

$$ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-nx)^{k}}{k!} $$

Ahora bien, si utilizo $ \sum_{n=0}^{\infty}n^{k}=\zeta (-k) $ Yo conseguiría eso

$$ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \zeta (-k)}{k!}x^{k}$$

¿Es correcta esta última expresión en el sentido de la serie de Taylor?

Answer 1

La derivación, tal como está, no es válida. Aunque Bilou06 probablemente estaba hablando de series convergentes, la relación $\sum_n\sum_m a_{n,m}=\sum_m\sum_n a_{n,m}$ también puede fallar para las series divergentes regularizadas.

En este caso la conclusión es falsa - se necesita un término de error. Tenemos dos fórmulas a mano:

$$\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}$$

$$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}.$$

Por lo tanto,

$$\begin{array}{ll} \sum_{k=0}^\infty\frac{\zeta(-k)}{k!}(-x)^k & =\zeta(0)+\sum_{k=1}^\infty-\frac{B_{k+1}}{(k+1)}\frac{(-x)^k}{k!} \\ & =-\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\sum_{k=1}^\infty B_{k+1}\frac{(-x)^{k+1}}{(k+1)!} \\ & =-\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\sum_{k=2}^\infty\frac{B_k}{k!}(-x)^k \\ & =-\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\left[\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{B_1}{1!}(-x)-\frac{B_0}{0!}(-x)^0\right] \\ & =\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}-1.\end{array}$$

Answer 2

6 años después, pero la respuesta dada me parece incorrecta/incompleta.

La relación con las sumas de intercambio era correcta, y $\sum_n\sum_m a_{n,m}=\sum_m\sum_n a_{n,m}$ es válida para la regularización, siempre que la forma de las sumas/lo que se regularice siga siendo la misma.

La pregunta cometía el error de suponer que las series de Taylor tienen un límite inferior de 0. Al igual que la mayoría de las series generales, esto debería ser en realidad menos infinito e infinito positivo.

Tomemos el ejemplo en el que empezamos en n=1, puedes añadir tú mismo n=0. Cambiamos e^(-x) por c.

$$\sum_{n=1}^{\infty}c^{n}= \frac{c}{1-c}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}c^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k \in \mathbb{Z}}\frac{(n\ln(c))^{k}}{k!}=$$ $$\sum_{k \in \mathbb{Z}}\frac{\zeta(-k)\ln^{k}(c)}{k!}=$$ si k<-2 es 0. si k es -1, hay que mirar el límite, que es $\frac{-1}{ln(c)}$ .

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\zeta(-k)\ln^{k}(c)}{k!}=\frac{c}{1-c}+\frac{1}{ln(c)}$$ Como se puede ver escrito en la respuesta anterior.

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}}\frac{\zeta(-k)\ln^{k}(c)}{k!}=\frac{c}{1-c}$$