Demostrar que cualquier grupo de orden$185$ es cíclico.

Question

Este es mi intento. No estoy seguro de su plausibilidad.

$Attempt$: Vamos a $G$ ser un grupo de orden $185$. A continuación,$G=185=5\cdot 37$. El $Sylow-p$ subgrupos son únicos y normal y, por tanto, $G$ es nilpotent y por lo $G=P_1\times P_2$ donde $P_1$ $Sylow-5$ normal subgrupo mientras que $P_2$ es el otro. Desde $5$ $37$ es de los primeros, a continuación, $P_1$ $P_2$ son cíclicos. Es un producto cíclico de grupos cíclicos grupo? Por lo que sabemos hasta el momento, $G$ es isomorfo a $\Bbb{Z}_5\times \Bbb{Z}_{37}$ o a $\Bbb{Z}_{185}$ pero $\Bbb{Z}_5\times \Bbb{Z}_{37}$ es isomorfo a $\Bbb{Z}_{185}$ porque $(5,37)=1$, entonces, ¿qué significa?? Estoy tan confundido...

Answer 1

Como dijiste, el grupo$37$ es normal, por lo tanto,$$G=\mathbb{Z}_{37}\rtimes \mathbb{Z}_5.$ $ Ahora, ya que$|Aut(\mathbb{Z}_{37})|=36$, no hay elementos del pedido$5$, por lo tanto, la acción es trivial y$$G=\mathbb{Z}_{37}\times \mathbb{Z}_5.$ $ Que es cíclico.