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Recordar que para probar cualquier conjunto $X$ es un subconjunto de otro conjunto $Y$, se debe probar la siguiente consecuencia:
$$\text{For all}\; x \in X,\,\; {\bf if}\;\, x \in X,\; {\bf then}\;\, x \in Y.$$
Más formalmente, que la $$X\subseteq Y \;\;\text{if and only if}\;\;\forall x\in X,\; \left(x\in X\implies x\in Y\right)\tag{1}$$
Ahora, una implicación (aka, una sentencia condicional) es verdadera en cualquier tiempo que el antecedente del condicional (que es la declaración a la izquierda de la implicación signo $\implies$) es falsa. (Cuando esto sucede, la implicación es que dijo ser vacuously cierto). Además, una implicación es verdadera en cualquier momento de la instrucción a la derecha de la implicación signo es cierto.
Una implicación es falsa si y sólo si resulta ser el caso de que el lado izquierdo de la implicación es verdadera, pero (y) el lado derecho es falso. (Voy a incluir de la verdad-tabla para el condicional conectivo a continuación (cortesía de W|A) como un repaso:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$
Ahora, la siguiente afirmación pasa a ser vacuously cierto para todos los conjuntos de $X$:
$$\text{Let X be any set, and $x$ be any element. Then}\;\;x\in \varnothing \implies x\in X\tag{2}$$
Esta implicación es vacuously verdadero porque $x\in \varnothing$ nunca pasa a ser el caso: no hay ningún elemento $x \in \varnothing$, por la definición de $\varnothing$, por lo que no puede ser el caso de que exista un $x \in \varnothing$ e tal que $x \notin X$. Así conocemos simplemente por virtud de este hecho de que la totalidad de la implicación es así (vacuously) verdadero.
Ahora, $(2)$ es exactamente lo que queríamos probar, y hemos demostrado que es vacuously verdadero. Que es: Para todos los conjuntos de $X$ y cualquier elemento $x$ si $x\in \varnothing$,$x \in X$. Por lo tanto, $\varnothing \subseteq X$, para todos los conjuntos de $X$.
amWhy la respuesta explica los detalles técnicos, pero todavía se puede encontrar la intuición detrás de ellos un poco turbia. Quizás la manera más fácil de pensar es preguntarse a sí mismo lo que significa decir que un conjunto $X$ es no un subconjunto de un conjunto $Y$: hay un objeto que es en $X$, pero no en $Y$. Por lo tanto, para demostrar que $\varnothing$ es no una subconjuntos de a $A$, debemos ser capaces de encontrar algún objeto $x$ tal que $x\in\varnothing$, pero $x\notin A$. Por supuesto, no podemos hacer esto: ni siquiera podemos encontrar una $x\in\varnothing$, no importa si $x\in A$ o no! Por lo tanto, $\varnothing\subseteq A$ no puede ser falsa y por lo tanto debe ser cierto.
A veces podemos expresar esto diciendo que no hay ningún objeto que los testigos de la declaración de $\varnothing\nsubseteq A$, lo que significa que no hay ningún objeto $x$ tal que $x\in\varnothing$$x\notin A$. En esta terminología, si $P$ es el conjunto de los números primos, y $A$ es el conjunto de los números impares, entonces el número de $2$ testigos de la declaración de $P\nsubseteq A$.
Formalmente, se le solicita que demuestre$$\varnothing \subseteq A$$ for every set $ A $.
Un enfoque que siempre trato de usar para este tipo de problema es traducir la teoría de conjuntos a la lógica al expandir las definiciones y luego simplificar. En este caso, vemos que para cada conjunto$A$ \begin{align} & \varnothing \subseteq A \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & \langle \forall x :: x \in \varnothing \Rightarrow x \in A \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%: no %#%#% is an element of %#%#%"} \\ & \langle \forall x :: \textrm{false} \Rightarrow x \in A \rangle \\ (*) \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify: %#%#% implies everything, see below"} \\ & \langle \forall x :: \textrm{true} \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify, allowed because %#%#% does not contain %#%#%"} \\ & \textrm{true} \\ \end {align} que completa la prueba.
Si desea más detalles en el paso$\;\subseteq\;$, observe que para cualquier expresión booleana$\;\varnothing\;$ \begin{align} & \textrm{false} \Rightarrow P \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: expand %#%#%"} \\ & \lnot\textrm{false} \lor P \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify left hand side"} \\ & \textrm{true} \lor P \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \textrm{true} \\ \end {align}
¡Cada rana en tu magnetrón es azul! ¿Verdad o no? Sí, es cierto ya que no puedes encontrar ninguna rana en tu magnetrón que no sea azul. Aún más fuerte: no puedes encontrar ninguna rana allí, así que ciertamente no es una azul.
Lo comprobado es ahora (vacuamente) que las ranas en su magnetrón (vacío) todas pertenecen al conjunto de objetos azules.
Precaución : Esto solo es válido si no tienes ranas en tu magnetrón.
