Límites en momentos de media de la muestra

Question

<blockquote> <p>Que $X_i$s ser i.i.d cero media variables aleatorias cuyos $p$-th momentos son finitos. Prueba %#% $ de #% donde $$E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^p\right]\leq C_p n^{p/2}$ es una constante independiente del $C_p$.</p> </blockquote> <p>Mi esfuerzo: creo que tenemos que ampliar la suma y luego decir cada término es de momento de $n$-th, cuenta el número de ellos y el límite superior. Esto parece ser desordenado. ¿Hay una mejor solución? ¿O es un nombre de un teorema?</p>

Answer 1

Supongamos que $p\geq 2$.

Por desigualdad de Zygmund, Marcinkiewicz, existe $Bp$ tal que % $ $$E\left( \left\vert \sum{i=1}^{n}X{i}\right\vert ^{p}\right)\leq B{p}E\left( \left( \sum{i=1}^{n}\left\vert X{i}\right\vert ^{2}\right) _{{}}^{p/2}\right)=Bpn^{p/2}E\left( \left( \frac 1n \sum{i=1}^{n}\left\vert X{i}\right\vert ^{2}\right) {{}}^{p/2}\right)$

Puesto que es convexo, $x\mapsto x^{p/2}$ $$\left(\frac 1n \sum{i=1}^{n}\left\vert X{i}\right\vert ^{2}\right) {{}}^{p/2}\leq \frac 1n \sum{i=1}^n |X_i|^p $ $ por lo tanto

$E\left (\left\vert \sum{i=1}^{n}X{i}\right\vert ^ {p} \right) \leq Bpn ^ {p/2} E\left (\frac 1n \sum{i=1}^n | X_i | ^ p \right) = B_pn ^ {p/2} E (| X_1 | ^ p) $$

Answer 2

La forma en la que veo de todo esto es el uso de la desigualdad de Khintchine. El punto clave es que si $F$ es una función convexa, y $X_i$ $X'_i$ dos yo.yo.d. cero significa que las variables aleatorias: $$ E\left[F(X_i)\right]=E\left[F\bigg(X_i-E(X'_i)\bigg)\right]\leq E\left[F\bigg(X_i-X'_i\bigg)\right] $$ Esta es una simetrización argumento desde $X_i-X'_i$ ahora es simétrica y tiene la misma distribución que $\epsilon_iX_i$ donde $\epsilon_i$ tiene el Rademacher de distribución. Esto, en particular, significa que para $p\geq 1$: $$ E\left[\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^p\right]\leq E\left[\left(\sum_{i=1}^n \epsilon_iX_i\right)^p\right]. $$ Tenga en cuenta que si $p$ no es un número entero y los momentos son para estar bien definida, los valores absolutos deben ser considerados.

Usando la desigualdad de Khintchine, hay una constante $A_p$ tal forma que: $$ E\left[\left(\sum_{i=1}^n \epsilon_i X_i\right)^p\right]\leq A_p E\left[\left(\sum_{i=1}^n |\epsilon_i X_i|^2\right)^{p/2}\right]. $$ Tenga en cuenta que $|\epsilon_i|^2=1$. El último paso es el uso del Titular de la desigualdad para mostrar que: $$ \left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right)\leq \left(\sum_{i=1}^n (|X_i|^2)^{p/2}\right)^{2/p}\left(\sum_{i=1}^n 1^q\ \ derecho)^{1/q} $$ donde $\frac 2p+\frac 1q=1$. La combinación de esta con la anterior desigualdad, obtenemos: $$ E\left[\left(\sum_{i=1}^n |X_i|^2\right)^{p/2}\right]\leq E\left[\left(\sum_{i=1}^n |X_i|^p\right)\right]n^{p/2t}. $$ El uso de $\frac{p}{2q}=\frac p2-1$, la desigualdad sigue con la constante $C_p=A_p E(|X|^p)$. Tenga en cuenta que el uso del Titular de la desigualdad, $p$ debe ser mayor o igual a $2$.

Answer 3

El problema es correcta, como se indicó para $p \in \Bbb N$. Sin embargo, si $p$ no es entero, entonces no debe ser absoluta-el valor de los signos dentro de la expectativa (es decir, $|\sum X_i|^p$) o más de la variable aleatoria no está bien definida. Asumiendo esto, me gustaría señalar que la declaración es falsa por $p \in (0,2)$.

Fácil contraejemplo se da de la siguiente manera: Vamos a $X_i$ $\alpha$- estable variables aleatorias para algunos $\alpha \in (0,2)$, es decir, se caracterizan por el hecho de que $\Bbb E[e^{itX_1}] = e^{-|t|^{\alpha}}$.

Se comprueba fácilmente que $$a_1X_1+...+a_nX_n \stackrel{d}{=} (|a_1|^{\alpha}+...+|a_n|^{\alpha})^{1/\alpha} X_1.$$

Ahora bien, es conocido que el $X_i$ han finito significa que mientras $\alpha>1$. Por lo tanto, si fijamos $a_i=1$ arriba en la distribución de la igualdad, obtenemos: $$\Bbb E \bigg| \sum_1^n X_i \bigg| = n^{1/\alpha} \Bbb E|X_1|,$$ which gives a counterexample for $p=1$. One may use the same random variables (and a similar argument) to get counterexamples for every $p \en (0,2)$.