Cómo demostrar este $|1+x|^a\ge 1+ax+\dfrac{1}{1000}|x|^a$

Question

deje $2\le a\le 13,a\in R$,e $x\in R$,muestran que: $$|1+x|^a\ge 1+ax+\dfrac{1}{1000}|x|^a\tag{1}$$

Yo: vamos a $$f(x)=|1+x|^a-1-ax-\dfrac{1}{1000}|x|^a$$

y ya si $x>-1$, $$|1+x|^a=(1+x)^a=1+ax+\dfrac{a(a-1)}{2}x^2+\cdots+x^a$$ y me cayó esto es bueno reslut.porque es bien konw esto sigue de la desigualdad de Bernoulli

$$(1+x)^a\ge 1+ax,x>-1,a>1$$ Pero a mi la desigualdad es fuerte que esto .y uso de equipo de prueba encontrado esta desigualdad $(1)$ es cierto.y yo no puedo lo demuestran.

POR el camino me he encontrado en china tener este libro

Gracias por tu ayuda

Answer 1

Aquí está una respuesta parcial: te muestro a continuación que la desigualdad (1) lleva a cabo cuando $x\geq 0$ o $x \leq c_1=-\frac{1}{1-\big(\frac{1}{1000}\big)^{\frac{1}{13}}}$ (tenga en cuenta que $c_1 \approx -2.42 \ldots$).

Que $g(x)=(1+x)^a-1-ax-x^a$ $x\geq 0$. $g'(x)=a(1+x)^{a-1}-a-ax^{a-1}$, $g''(x)=a(a-1)\big((1+x)^{a-2}-x^{a-2}\big)$, $g'$ Va en aumento, y por lo tanto, $g'(x) \geq g'(0)=a(a-1) >0$, que $g$ va en aumento y por lo tanto $g(x) \geq g(0)=0$. Así que cuando $x\geq 0$ $|1+x|^a \geq 1+ax+|x|^a$, que es más fuerte que (1).

Siguiente, if $x\leq c_1$ y $|x| \geq |c_1|$, $1-\frac{1}{|x|}\geq 1-\frac{1}{|c_1|}=\big(\frac{1}{1000}\big)^{\frac{1}{13}}$, que $\bigg(1-\frac{1}{|x|}\bigg)^a \geq \frac{1}{1000}$. Sigue que $|1+x|^a \geq \frac{1}{1000}|x|^a$, que también es más fuerte que (1).

Answer 2

El valor de la función en 0 es 0 para cada una. La función es continua, por lo que podría hacer el derivado y usar Teorema del binomio para demostrar que para cada x > 0 es positiva y para cada x

EDICIÓN: http://i.imgur.com/CZcJutJ.jpg