Un problema en la continuidad de una función en irrationals $f(x) = \sum_{r_n \leq x} 1/n^2$

Question

Deje $\langle r_n\rangle$ ser una enumeración del conjunto de $\mathbb Q$ de los números racionales tales que $r_n \neq r_m\,$ si $\,n\neq m.$ $$\text{Define}\; f: \mathbb R \to \mathbb R\;\text{by}\;\displaystyle f(x) = \sum_{r_n \leq x} 1/n^{2},\;x\in \mathbb R.$$ Demostrar que $f$ es continua en cada punto de $\mathbb Q^c$ y discontinua en cada punto de $\mathbb Q$.

Me resulta difícil de probar, especialmente la continuidad en irrationals, me demostró la discontinuidad en un número racional de la forma siguiente, es correcto?

Deje $ c \in \Bbb Q $ $ c=r_n $ algunos $n \in \Bbb N $ y

Deje $ \epsilon_0 = 1/n^{2} $

Deje $\delta > 0 $ ser arbitraria y deje $ x \in (c-\delta. c+\delta)$ tal que $x<c $

A continuación, $|f(x)-f(c)|>1/n^{2}=\epsilon_0 $

¿Cómo demostrar que es continua en irrationals?

Answer 1

He aquí un esquema para que te vas. Es continua en el irrationals porque alrededor de cualquier irracional usted puede encontrar un barrio que contiene racionales de índice mayor que en el caso escogido $N$ (por la exclusión de un número finito de racionales que no se ajustan a este criterio), y la suma de $\sum_{n \geq N} \frac{1}{n^2}$ puede hacerse arbitrariamente pequeña. Por lo tanto, en las cercanías de los puntos, la diferencia de la función es la diferencia en los racionales entre el punto inicial y mi cercanos punto, que es menos de $\sum_{n \geq N} \frac{1}{n^2}$.

Sin embargo, este no es el caso en racionales, porque si $r_n$ es algo de racional, y $x$, ligeramente menor que $r_n$, entonces la diferencia de $f$ entre estos puntos es, al menos,$1/n^2$, independientemente de lo cerca $x$$r_n$.

Answer 2

La prueba de $c\in\mathbb Q$ es casi bien. Sin embargo, sólo se consigue $|f(x)-f(c)|\ge \frac1{n^2}$. Pero esto puede ser curado por la elección de $\epsilon_0$ sólo un poco más pequeño.

Para $c\notin \mathbb Q$ $\epsilon>0$ mostrar que no es $N$ tal que $\sum_{n> N}\frac1{n^2}<\epsilon$. Sice $c$ es irracional, usted puede encontrar un barrio de $c$ que evita el que finalmente puede racionales $r_1,\ldots, r_N$. A continuación, cada una de las $x$ en este barrio "de acuerdo" con $c$ sobre si usar o no los sumandos $\frac1{n^2}$$n\le N$, de modo que $|f(c)-f(x)|\le \sum_{n>N}\frac1{n^2}<\epsilon$.

Al parecer, $\sum\frac1{n^2}$ puede ser reemplazado por cualquier convergente la serie.