Demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\infty f_n(x) dx = \int_0^\infty f(x) dx$ .

Question

Este problema es del capítulo 7 del libro de Rudin Principios del análisis matemático .

Supongamos que $g$ y $f_n$ ( $n = 1,2,3,...)$ se definen en $(0,\infty)$ son integrables por Riemann en $[t,T]$ siempre que $0 < t < T < \infty$ , $|f_n| \leq g, f_n \to f$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $(0,\infty)$ y $$\int_{0}^{\infty}g(x) dx < \infty.$$ Demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{0}^\infty f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} f(x) dx.$$

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Mi intento de solución:

Desde $|f_n| \leq g$ y $\int_0^\infty g(x) dx < \infty$ se deduce que $\int_0^\infty f_n(x) dx < \infty$ (y también $\int_0^\infty f(x) dx < \infty$ por convergencia uniforme). También, $$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^\infty f_n(t) dt = \lim_{n \to \infty} \lim_{T \to \infty} \int_{0}^T f_n(t) dt. $$ Si pudiéramos intercambiar los dos límites $\lim_{n \to \infty} \lim_{T \to \infty}$ entonces tendríamos nuestro resultado debido a que $f_n \in \mathscr{R}$ y $f_n \to f$ (Teorema 7.16).

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Mi pregunta:

¿Cuál es la justificación formal para poder intercambiar los dos límites? He tenido algunas ideas, pero ninguna me ha parecido buena.

Answer 1

Podemos encontrar para un tamaño suficientemente grande $n$

$$\begin{align}\left|\int_0^\infty f_n - \int_0^\infty f\right| &\leqslant \left|\int_t^T f_n - \int_t^T f\right| \\&+ \left|\int_0^t f_n\right| + \left|\int_0^t f\right| \\&+ \left|\int_T^\infty f_n\right| + \left|\int_T^\infty f\right| \leqslant \epsilon\end{align}$$

El primer término del lado derecho tiende a $0$ como $n \to \infty$ desde $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $[t,T]$ . Por lo tanto, para cualquier $\epsilon > 0$ y se fijó $t,T$ tenemos para un tamaño suficientemente grande $n$ ,

$$\left|\int_t^T f_n - \int_t^T f \right| < \epsilon/5$$

Cada uno de los términos restantes del lado derecho puede hacerse más pequeño que $\epsilon/5$ eligiendo un tamaño suficientemente pequeño $t$ y suficientemente grande $T$ (independiente de $n$ ) utilizando, por ejemplo, la estimación

$$\left|\int_T^\infty f_n\right| \leqslant \int_T^\infty |f_n| \leqslant \int_T^\infty |g| \leqslant \epsilon/5,$$

donde la última desigualdad se deriva de la convergencia de $\int_0^\infty g$ .

Answer 2

Dejemos que $\varepsilon>0$ se le dará. Dado que $g \in \mathcal{R}$ podemos encontrar $T>t>0$ para que \begin{align} \int_T^\infty g(x) dx \leq\frac{\varepsilon}{6} \end{align} et \begin{align} \int_0^t g(x) dx \leq\frac{\varepsilon}{6} \, . \end{align} Desde $f_n \to f$ uniformemente en $[t, \, T]$ hay un número entero positivo $N$ para que \begin{align} |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3(T-t)} \, \text{ whenever } n \geq N\text{ and } x \in [t, \, T] \, . \end{align}

Por lo tanto, \begin{align}\left|\int_0^\infty f_n(x)dx - \int_0^\infty f(x)dx\right| &\leq \left|\int_t^T f_n(x)dx - \int_t^T f(x)dx\right| \\&+ \left|\int_T^\infty f_n(x)dx\right| + \left|\int_T^\infty f(x)dx\right| \\&+ \left|\int_0^t f_n(x)dx\right| + \left|\int_0^t f(x)dx\right| \leq \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{6}+\frac{\varepsilon}{6}+\frac{\varepsilon}{6}+\frac{\varepsilon}{6} \end{align} siempre que $n \geq N$ .

Answer 3

Una pista: Demuestre que las integrales de Riemann superior e inferior convergen a las integrales de Riemann superior e inferior de la función límite. La idea es que para un tamaño suficientemente grande $n$ las sumas superiores e inferiores están dentro de $\epsilon I$ de las sumas de los límites superior e inferior, respectivamente. El hecho de que los intervalos reales cerrados sean compactos jugará un papel importante.