¿Qué nos dice tener un punto base en una topología algebraica?

Question

Esto puede ser una pregunta vaga.

Estoy confundido entre el caso de punto base y el caso de punto no base en topología algebraica. ¿Hay alguna conveniencia en el caso base puntiaguda? Por ejemplo, conduce a la definición de producto smash, que se deja junto al functor$Map(X,-)$ (aquí los mapas conservan el punto base). En el caso no de base, el adjunto izquierdo será el producto. ¿Hay algo más detrás de esto?

Muchas gracias!

Answer 1

Sin un determinado punto de base, se hace difícil definir el grupo fundamental o superior homotopy grupos. En particular, los bucles que son libremente homotópica no tiene por qué ser distintos en $\pi_1(X,x_0)$; de hecho, los elementos de $\pi_1(X,x_0)$ son de libre homotópica iff que está conjugado en el grupo. Así que si nos olvidamos de nuestro punto de base, perdemos nuestra estructura de grupo. Superior (basepointed) homotopy grupos abelian, por lo que este problema no es un problema; dos mapas de $S^n \to X$ (que conservar un punto de base elegido en $S^n$$X$) son punto de base-homotópica iff son libremente homotpic. Pero la manera más natural de la definición de una suma de dos elementos - el colapso de la línea ecuatorial de $S^n$ y componiendo con el mapa de $f_1 \wedge f_2: S^n \wedge S^n \to X$ - requiere que hemos elegido un punto de referencia $S^n$ en el primer lugar.

Como Ronnie Brown comentarios de arriba, hay sin duda una forma de trabajar con más de un punto de base, o sin un punto de base en todo; el MO pregunta que los enlaces es útil para esta perspectiva.