Cuáles son las posibles gamas de una métrica

Question

Dada una métrica $d$ en un % de espacio $X$, ¿qué podemos decir de $d(X\times X)$? ¿Qué rango posible puede tener $d$?

Más precisamente, considerar el conjunto de $D={ A \subset [0,\infty) | A = d(X\times X), \textrm{d is a metric on $X $} } $ ¿qué propiedades tiene $D$ tienen?

Por ejemplo, son todos los conjuntos finitos con $0$ $D$: Si $A={0,a_1,a_2...a_n }$, donde $a_i<aj a="" construcci="" contable="" cualquier="" en="" est="" j="" n="" ordenado="" por="" si="" similar.="" sistema="" tambi="" una="" y=""></a_j>

Answer 1

Sus obras mucho más general:

En primer lugar tenga en cuenta que $\varnothing\in D$ % tomar $X=\varnothing$. A continuación, tenga en cuenta que si $A\in D$ no es vacío, entonces $0\in A$.

Ahora que $A\subseteq [0,\infty)$ tal definir que $0\in A$del #% y dejó $d\colon A\times A\to A$$$d(x,y) = \begin{cases} \max(x,y) & x\neq y \ 0 & x=y \end{cases}.$$ no es difícil ver que $d$ es una métrica y el rango de $d$ $A$.

Por lo tanto, $D = {A\subseteq [0,\infty)|0\in A\mbox{ or }A=\varnothing}$.